基于tms320c5402的iir数字滤波器设计

基于tms320c5402的iir数字滤波器设计内容摘要：

IIR 滤波器设计的经典方法。 经典法可设计出低通、高通、带通、带阻等各种 IIR 滤波器。 在 MATLAB 中，经典法设计 IIR 数字滤波器采用下面的主要步骤框图： IIR 滤波器 由上可见，经典设计法是利用模拟滤波器的设计成果。 第二步完成之后，一个达 到期望性能指标的模拟滤波器已经设计出来。 第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数 H(S)映射成数字滤波器的系统函数 H(z)。 数字滤波器的设计工作就完成了。 实现系统传递函数 s 域映射z 域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。 2）设计方法 （ 1）脉冲响应不变法 利用模拟滤波器成熟理论和设计方法来设计 IIR数字低通滤波器是经常用的方法。 设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波其的传输函数 )(sHa。 转换成数字低通滤波器的系统函数 )(zH。 这样这机的关键 模拟低通滤波原型 频率变换 模拟离散化 16 问题就是找这种 转换关系，将 s 平面上的 )(sHa 转换成 z 平面上的 )(zH。 为保证转换后的 )(zH 稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求： ① 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 我们知道，模拟滤波器因果稳定要求其传输函数 )(sHa 的极点全部位于 s 平面的左半面；数字滤波器因果则要求 )(zH 的极点全部在单位院内。 因此，转换关系应该是 s 平面的在半平面映射 z 平面的单位圆内部。 ② 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响， s 平面 的虚轴映射 z 平面的单位圆，相应的频率至间成线性关系。 将传输函数 )(sHa 从 s 平面转换到 z 平面得方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。 先说一下脉冲响应不变法。 设模拟滤波器的传输函数为 )(sHa ，相应的单位冲激响应是 )(tha ，)]([)( thLTsH aa  ， LT[.]代表拉氏变换，对 )(tha 进行等间隔采样，采样间隔为 T，得到 )(nTha ，将 h(n)= )(nTha 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数 H(z)便是 h(n)的 Z 变换。 因此脉冲响应不变法师一种时域上的转换方法，它是 h(n)在采样点上等于 )(tha。 设模拟滤波器 )(sHa 只有单阶极点。 将 )(sHa 逆拉氏变换得到 )(tha ： )()( 1 teAthtsNi iai  式中 u(t)是单位阶跃函数，对 )(tha 进行等间隔采样，采样间隔为 T，得到 )()()( 1 nTueAnThthnTsNi iai 对上式进行 Z 变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z)：  Ni Tsi zeAzHi1 11)( 可以看出， )(sHa 的极点 is 映射到 z 平面，其极点变成 Tsie ，系数 iA 不变化。 17 接下来我们分析从模拟滤波器转换到数字滤波器， s 平面和 z 平面之间的映射关系 )(tha 作为桥梁，推到其映射关系。 设 )(tha 的采样信号用 )(ˆtha 表示， n aanTtthth )()()(ˆ  对 )(ˆtha 进行拉氏变换，得到：  ns n TastnastaaenThdtenTtthdtethsH)()]()([)(ˆ)(ˆ 式中 )(nTha 是 )(tha 在采样点 t=nT 时的幅度值，它与序列 h(n)的幅度值相等，即 h(n)= )(nTha ,因此得到： sTn nns n Ta ezzHznhenhsH     ),()()()(ˆ 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的 Z 变换之间的映射关系可用下式表示 : sTez  ④ 我们知道模拟信号 )(tha 的傅里叶变换 )( jHa 和其采样信号 )(ˆtha 的傅里叶变换)(ˆ jHa 和其采样 信号 )(ˆtha 的傅里叶变换 )(ˆ jHa 之间的关系满足式： k saajkjHTjH )(1)(ˆ 18 将 js 代入上式，得   k saa jksHTjH )(1)(ˆ ⑤ 由式 ④ ⑤ 得到：   k saez jksHTzH sT )(1)( 上式表明将模拟信号 )(tha 的拉氏变换在 s 平面上沿虚轴按照周期 Ts 2延迟后，再按照 ④ 式可称为标准映射关系，映射到 z 平面上，就得到 H(z)。 ④ 式可称为标准映射关系。 下面进一步分析这种映射关系。 设  jrezjs  按照 ④ 式，得到： Tjtj eere   因此得到：   Ter T  ⑥ 1,0  r 那么 1,0  r 1,0  r 上式关系说明， s 平面的虚轴映射 z 平面的单位圆 (r=1)， s 平面在平面映射 z 平面单位内 (r1),s 平面映射 z 平面单位圆外 (r1)。 这说明如果 )(sHa 因果稳定，转换后得到 H(z)仍是因果稳定的。 另外，注意到 sTez  是一个周期函数，可写成 tTmjTTjtsT eeeee )2(    M 为任意整数当 σ 不变，模拟频率 Ω 变化 T2 的整数倍时，映射值不变。 或者 19 说，将 s 平面沿着 jΩ 轴分割成一条条宽为 T2 的水平带，每条水平面都按照前面分析的映射关系对应着整个 z 平面。 此时 )(ˆ ZHa 所在的 s 平面与 )(ˆ ZHa 所在的z 平面的映射关系如图所示。 当模拟频率 Ω 从 T 变换到 T 时，数字频率 ω则从 π 变换到 π ，且按照 ⑥ 式 T ， 即 ω 与 Ω 之间成线性关系。 但是，从模拟信号 )(tha 到采样信号 )(ˆtha ，其拉氏变换要按照 ⑥ 式。 其 T2为周期，沿虚轴方向进行周期变换。 如果原模拟信号的频带不是限于 T 之间，则会在 T 得奇数倍附近产生频率混叠，从而映射到 z 平面上，在   附近产生混叠。 这样会使设计出的滤波器在 π =T附近频率不同程度的偏离莫逆滤波在 π =T 附近的 频率特性，严重时使滤波器不满足给定的技术指标。 因此，希望设计的滤波器是带限滤波器，如果不是带限的，例如高通滤波器，带阻滤波器，需要在高通带阻滤波器之前加保护滤波器，滤除高于折叠频率 T 以上的频带，以避免产生混叠现象。 但这样会增加系统的成本和复杂性，因此，高通与带阻滤波器不适合用这种方法设计。 假设 )(ˆ jHa 没有频率混叠现象，既满足 TjH a  ,0)(ˆ 将关系式 TjS  , 代入，得到：   ),(1)( TjHTeH aj 说明用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频响。 上式中， )( jeH 的幅度特性与采样间隔成反比，这样当 T 较小时， )( jeH就会有太高的增益。 为避免这一现象，令 )()( nTThnh a 那么  Ni Tsi zeTAzHi1 11)( ，此时   ),()( TjHeH aj 一般 )(sHa 的极点 iS 是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在式中讲一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。 如果模拟滤波器的二阶基本的形 20 式为 2121 1)(  s s，极点为 11  j 可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数的乘法 )的形式为 TTTezTez Tez 11 1 2211 11c os21 c os1   如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 2121 1)( s，极点为 11  j ，则对应的数字滤波器二阶基本节的具体形式 TTTezTez Tez 11 1 2211 11c os21 s in  利用以上这些变换关系，可以简化设计。 （ 2）双线性变化法 这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到 T 之间，再用 sTez  转换到 z 平面上。 设 )(sHa ， s=jΩ ，经过非线性频率压缩后用 111),(  jssHa 表示，这里用正切变换实现频率压缩： ) n (2 1TT  式中 T 仍是采用间隔，当从 π /Ω 经过 0 变换到 π /Ω 时， Ω 则由  经过 0变化到  ， 实现了 s 平面上整个虚轴完全压缩到 1s 平面上虚轴的 T 之间的变换。 这样便有 ∞ TsTszzTTthTs11112)(21  再通过 sTez  转换到 z 平面上，得到： 11112 zzTs ⑦ sTsTz 22 ⑧ 式 ⑦ 或式 ⑧ 称为双线性变换。 从 s 平面映射到 1s 平面，再从 1s 平面映射到 z 21 平面，其映射情况如图 9 所示。 由于从 s 平面到 1s 平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象。 另外，从 1s 平面转换到 z 平面仍然采用标准转换关系 sTez  ， 1s 平面的数 T 之间水平带的左半部分映射 z 平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。 这样， )(sHa 因果稳定，转换城的 H(z)也是因果稳定的。 下面分析模拟频率 Ω 和数字频率 ω 之间的关系。 令 jezjs  , ，并代入 ⑦ 式中，有  21t a n2112 TeeTjjj  ⑨ 上式说明， s 平面上 Ω 与平面上的 ω 成非线性正切关系。 如图 10 所示。 在 ω =0附近接近线性关系；当 ω 增加时， Ω 增加得越来越快；当 ω 趋近 π 时， Ω 趋近于∞。 正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。 Ω π 0 π 图 10 双线性变换法的频率变换 ω 与 Ω 之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波器频率响逼真的模仿模拟滤波器的频响，幅度特性和相位特性失真的情况如图 11 所示。 这种非线性影响的实质问题是：如果 Ω 的刻度均匀的，则映射 到 z平面 ω 的刻度不是均匀的，而是随 ω 增加越来越密。 22 Ω Ω )( jHa   Ω。