基于tms320c5402的iir数字滤波器的设计

基于tms320c5402的iir数字滤波器的设计内容摘要：

器供我们选择，如巴特沃斯 (Butterworth 滤波器 .切比雪夫 (Chebyshev)滤波器等。 这些工作的理论分析和设计方法在 20 世纪 30 年代就完成，然而烦琐 .冗长的数字计算使它难以付诸实用。 直到 50 年代，由于计算机技术的逐步成熟，求出大量设计参数和图表，这种方法才得到广泛应用。 这些典型的滤波器各有特点：α dB 0dB β dB p s ω  Tja eH  图 滤波器的主要技术指标 巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者 阻带有波动发，可以提高选择性。 这样根据具体要求可以选择不同类型的滤波器。 模拟滤波器按幅度特征可以分成低通、高通、带通和带阻滤波器。 它们的理想幅度特性如图 所示，但我们设计滤波器时，总是先设计低通滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器 模拟滤波器的基本设计方法 利用频率变换设计模拟滤波器的步骤为： (1) 给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率 0 或上、下边界频率 21, 等。 (2) 确定滤波器阶数 (3) 设计模拟低通原型滤波器。 (4) 按频率变换设计模拟滤波器 (低通、高通、带通、带阻 )。 模拟低通滤波器的设计指标有 p ， p 和 s ，其中 p 和 s 分别称为通带截止频率和阻带截止频率。 p 是通 带 Ω(=0— p )中的最大衰减系数， s 是阻带Ω≥ s 的最小衰减系数， p 和 s 一般用 dB 表示。 对于单调下降的幅度特性，可表示成： 2)2)()0(lg10paapjHjH (217) 2)2)()0(lg10saapjHjH (218) 如果 Ω=0 处幅度已归一化为一，即   1jHa ， p 和 s 表示为： 带通 带阻 图 模拟滤波器理想幅度特性 低通 高通 2)(lg10 pap jH  (219) 2)(lg10 sas jH  (220) 以上技术指标用图 表示，图中 c 称为 3dB 截止频率，因 :    dBjHjHcaca32021 (221) 图 低通滤波器的幅度特性 滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数 sHa ，希望其幅度平方函数满足给定的指标 p 和 s ，一般滤波器的单位冲激响应为实数，因此 ： )()(|)()()( js2jHjH sHaHjHaaaaa (222) 如果能由 p ， p ， s ， s 求出  2jHa ，那么就可以求出所需的 sHa ，对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。 这里要说明的是 sHa 必须是稳定的。 因此极点必须落在 s 平面的左半平面，相应的  sHa  的极点落在右半平面。 巴特沃斯滤波器及最小阶数的选择 巴特沃斯滤波器是最基本的逼近方法形式之一。 它的幅频特性模平方为： 222 ))(11()(Nca jH (223) 1  jHa 0 c s p  式中 N 是滤波器的阶数。 当 Ω=0 时，   1jHa ；当 Ω= c 时，  21jHa ， c 是 3dB 截止频率。 不同阶数 N 的巴特沃斯滤波器特性如图 所示，这一幅频特性具有下列特点： (1)最大平坦性：可以证明：在 Ω=0 点，它的前 (2N1)阶导数都等于 0，这表明巴特沃斯滤波器在 Ω=0 附近一段范围内是非常平直的，它以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器。 “最平响应 ”即由此而来。 (2)通带，阻带下降的单调性。 这种滤波器具有良好的相频特性。 (3)3dB 的不变性：随着 N 的增加，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性，但不管 N 是多少，幅频特性都通过 3dB 点。 当 Ω≥ c 时，特性以 20NdB/dec 速度下降。 图 不同阶数 N 的巴特沃斯滤波器特性 现根据式 (223)求巴特沃斯滤波器的系统函数 Ha(s)。 令 Ω=s/j，带入式 (223)，得： NcNNcNcaajsa jsjjssHsHjH 22222)()()(11)()()(  (224) 对应的极点：   022  NcN js (225)       2122 12 21 kNjcNck ejs (226) 其中， ks 即为    sHsH aa  的极点，此极点分布有下列特点： (1)    sHsH aa  的 2N 个极点以 π/N为间隔均匀分布在半径为 c 的圆周上， 这个圆称为 巴特沃斯圆。 (2)所有极点以 jΩ轴为对称轴成对称分布， jΩ轴上没有极点。 (3)当 N 为奇数时，有两个极点分布在 cs  的实轴上； N 为偶函数时，实轴上没有极点。 所有复数极点两两呈共轭对称分布。 图 画出了 N=3 时的   sHsH aa  极点分布。 全部零点位于 s=∞处。 图 N=3 时 Ha(s)Ha(s)极点分布 为得到稳定的 sHa ，取全部 左半平面的极点。    Nk kNca sssH1 (227) 当 N 为偶数时 ，则：        212221 2212c o s2Nk ccNckNk kNcasNkssssssH (228) 当 N 为奇数时 ，则：     211222212c os2NkcccNcassNkssH (229) 为使用方便把式 (228)和式 (229)对 c 进行归一化处理，为此，分子分母各除以 Nc ，并令css  ， s 称为归一化复频率： c jΩ δ c       Nka sNkssH12 12212c o s21(N 为偶数 ) (230)       2112 112212c o s21NkassNkssH (N 为奇数 ) (231) 用归一化频率 c / 表示的频率特性称为原型滤波特性 (Ωَ即归一化复频率 sَ 的虚部 )。 对式 (225)所示的低通巴特沃斯特性用 Ωَ表示得到：     Na jH 22 1 1   (232) 称  jHa 为巴特沃斯低通原型滤波器幅频特性。 在低通原型滤波频率特性上，截止频率 c =1。 若给出模拟低通滤波器的设计性能指标要求：通带边界频率 p ，阻带边界频率 s ，通带波纹 )(dBRp ，阻带衰减 )(dBRS ，要确定 butterworth ,，低通滤波器最小阶数 N 及 截止频率 )3( dBC 。 p ， S ， SR ， PR 的意义如图所示。 当  = P 时， 2020)( PRjH  即 2)H(j lg10 PR ，以截 至频率 c (幅值下降 3dB)为 1，化  为相对  为相对c的相对频率c 由上式可写为 NcPpR210)(11lg10 (233) 同理，当  = c 时， 则： 2020)( SRjH  (234) NcPSR210)(11lg10 (235) 由此可见 )(l o g2)110)(110(1010/10/spRR PPN N 应向上取整N RpcP2 10/ )110(   ，N RScS2 10/ )110(  再用 MATLAB 编程计算滤波器最小阶数 N 和截止频率 c。 ks 就是切比雪夫滤波器    sHsH aa  的极点，给定 N， c ， ε 即可求的 2N个极点分布。 由式 ()实部与虚部的正弦和余弦函数平方约束关系可以看出，此极点分布满足椭圆方程，其短轴和长轴分别为 1a r c s in1c o s h1a r c s in1s in hhNbhNacc (236) 图 画出了 N=3 时切比雪夫滤波器的极点分布。 极点所在的椭圆可以和半径为 a 的圆和半径为 b 的圆 联系起来，这两个圆分别称为巴特沃斯小圆和巴特沃斯大圆。 N 阶切比雪夫滤波器极点的纵坐标，而横坐标等于 N 阶巴特沃斯小圆极点的横坐标取左半平面的极点：   nkbNkakk212c o s212s in k=1,2… ， N (237) 则切比雪夫滤波器的系统函数： a b ζ jΩ 图    Nk ka ssAsH1)( (238) 其中 kkk js  ，常数 A=12 Njc cN。 因而切比雪夫滤波器的系统函数表示为：    Nk kNNca sssH112/  (239) 切比雪夫滤波器的截止角频率 c 不是像巴特沃斯滤波器中所规定的 (3dB)处角频率，而是通带边缘的频率。 若波纹参数满足 1 1 2 ，可以求的 3dB处的角频率为    1c os h1c os h3 arNdB c (240) 将式 ()表示的 sHa 对 c 归一化，得到切比雪夫 I 型 低通滤波器的系统函数 低通滤波器的系统函数：      0111121asasassH NNNNa    (241) 对不同的 N，式 (241)的分母多项式已制成表格，供设计参考。 和 butterworth 低通模拟滤波器设计一样，若给定性能指标要求： c ， s ，PR ， sR 确定 Chebyshev 低通模拟滤波器最小阶数 N 和截止频率 c (3dB 频率 )。 (1) Chbbyshev I 型 由式   )/(1 1)( 2222CNa CAjH   (242) 可得 110 10/  PR 20/10 SRA 故阶数 N 可由下式求得 ))1)((10log)1(10log22pspsggN (243) 式中， 22 /)1(  Ag ，截至频率 p。