基于matlab的iir数字滤波器的设计与dsp实现论文

基于matlab的iir数字滤波器的设计与dsp实现论文内容摘要：

   0M mmy n a x k m （ 4） 其中 ， 式 （ 3） 为 IIR滤波器 ， 式 (4)为 FIR滤波器。 IIR滤波器的传递函数 求 IIR 滤波器的传递函数 H(z)时， 应把差分方程 【式 （ 3） 】 的两边加以 Z变换， 得出：      01MNmnmnmnY Z X Z a Z Y Z b Z （ 5） 式中 x(Z)、 Y(Z)分别表示输入信号与输出信号的 Z变换。 由此，按下述求出传递函数：        01M mmmN nnnaZY Z A ZHZ X Z B ZbZ   （ 6） 式中各变量为： （ 1）系数 ma ， nb ： 称为抽头系数或滤波器系数，是决定滤波器特性的数值； （ 2） M： 滤波器的分子多项式的阶数； （ 3） N： 滤波器的分母多项式的阶数。 式（ 6） 为有理函数（由分母多项式与分子多项式构成的函数）， FIR 滤波器的场合是只有分子多项式 A(Z)， 而 IIR 滤波器则还具有分母多项式 B(Z)， 固而会产生种种问题。 其中特别 需 要注意的 是稳定性问题。 在这 里， 使 A(Z)=0的 Z 值称为滤波器的“零点” ， 使 B(Z)=0 的Z值则称为“极点”。 IIR数字 滤波器的设计方法 利用模拟滤波器成熟的理论和设计方法来设计 IIR 数字低通滤波器是经常用的方法。 设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟滤波器的传输函数 G(S)，再按一定的转换关系将 G(S)转换成数字低通滤波器的系统函数 H(Z)。 这样设计的关键问题就是找这种转换关系，将 S平面上的 G(S)转换成 Z平面上的 H(Z)。 为了保证转换后的 H(Z)稳定且满足技术要求，对转换关系提 出两点要求 ： (1) 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。 (2) 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响， S平面的虚轴映射 Z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。 . . 将传输函数 G(S)从 S平面转换到 Z平面的方法用多种，但工程上常用的是标准 Z变换 和双一阶 Z变换。 S— Z变换 的概述 S— Z变换是一种对模拟滤波器的传递函数 G(S)加以变换来求数字滤波器的传递函数 H(Z)的有效方法，具有以下特点： (1)模拟滤波器的传递函数近似理论是 很 成熟的， 用比较简 单 的数学式表达出了常见的一 些滤波器 (巴特沃思型、切比雪夫型、贝塞尔型等 )的设计公式。 因此，如果以模拟滤波器的设计公式作为基础， 则数字滤波器的设计就归结为函数变换，可望简单化。 (2)对模拟滤波器的工作特性以数字滤波嚣来加以仿真这一点，在应用上多很有用。 S— Z变换有标准 z变换与双一阶 Z变换 等， 是根据所要设计的滤波器的型式 (按低通滤波器、带通滤波器等加以区别 )分别利用的。 标准 Z变换 这种变换也称为冲激不变法， 是使模拟滤波器的冲激响应 g(t)的采样值等于所设计的数字滤波器的冲激响应 h(k)，亦即使      | 0 , 1 , 2 , .. .t k Th k g t k （ 7） 今设模拟滤波器的传递函数 G(S)由下式表达：   1N nn nAGS SS  （ 8） 通过对式 (8)进行拉普拉斯变换反演计算，可得此滤波器的冲激响应为   1 nK stnng t A e   （ 9） 代入 (7)式后成为     1| nN S k Tt k T nng k g t A e    (10) 至此，如果再计算模拟滤波器的冲激响应序列 g(k)的 Z变换，就显然与数字滤波器的传递函数 H(Z)相一致。 亦即得到      10 0 1 1 0nnNN kS k T S Tkk nnk k n n kH Z g k Z A e Z A e Z                      （ 11） . . 此无限等比级数可改写为   11 1 nN nS k Tn AHZ eZ   （ 12） 在这里把式 (12)看作是由 S域向 Z域的变换，就 导出了 STZe 的关系（称为标准 Z变换）。 双一阶 Z变换 （即双线性变化） 这种变换也称梯形积分法，目的在于克服标准 Z 变换不适应设计产生 混叠误差、频带未受限制的滤波器这一缺点。 今把由下述 S— Z变换式 11211 ZS TZ  (13) 所示的 S值代入模拟滤波器的传递函数 G(S)中去，就得到传递函数为     1121 1| ZST ZH Z G S   （ 14） 的数字滤波器。 通过简单的考察可知，双一阶 Z 变换是把整个 S 平面映射到 Z 平面的单位圆内， 不存在混叠现象，只要模拟滤波器是稳定的，那么数字滤波器就也是稳定的。 但它们的冲激响应与频率特性切不是一样的。 把式 (14)中的 S代以 Ajw 、 Z代以 DiwTe ，用  AG jw 表示模拟 滤波器 G(S)的频率特性、  Diw THe 表示数字滤波器 H(Z)的频率特性，则 (14)式可以写成 / 2 / 2/ 2 / 22 1 21 D D DD D Djw T iw T iw TA jw T iw T iw Te e ejw T e T e e (15) 用欧拉公式得出模拟角频率 Aw 与数字角频率 Dw 的关系为 2 ta n 2DA wTw T (16) 式 (16)表示了 Aw 与 Dw 之间的畸变亦即变形。 这就是说，双一阶 Z变换是给频率特性带来畸变的，它把模拟滤波器的角频率 0 Aw  凝聚成为数字滤波器 的角频率 0/DwT。 因此，在利用双一阶 Z 变换进行设计的场合，当确定模拟滤波器的指标参数时，必须把式 (16). . 加给数字滤波器角频率的畸变考虑进 来。 这称为预变形。 利用模拟滤波器设计 IIR滤波器的 步骤 (1) 将给定的数字滤波器的性能指标 ,按某一变换 (映射 )规则转换成相应的模拟滤波器性能指标。 (2) 如果要设计的不是数字滤波器 ,则还需要将步骤 (1)中变换所得到相应的 (高通 ,带通 , 带阻 )模拟滤波器性能指标变换成模拟 滤波器的性能指标。 这是因为模拟 滤波器才有图形和表格可以利用。 (3) 用所得到的模拟低通滤波器的性能指标 ,利用某种模拟滤波器逼近方法 ,设计并查表求得此模拟低通滤波器的系统函数 ,以它作为设计数字滤波器的“样本”。 (4) 利 用与步骤 (1),(2) 中的同一变换规则 ,将此作为“样本”的模拟原型低通滤波器的系统函数最终变换成所需的数字各型滤波器的系统函数 H (z)。 步骤 (1)中的变换规则就是从模拟滤波器数字化成为数字滤波器的方法 ,也就是要把 s 平面映射到 z平面 ,使模拟系统函数 Ha(s)变换成所需的数字滤波器的系统函数 H(z)。 这种由复变量 s到复变量 z之间的映射 (变换 )关系 ,必须满足以下两条基本要求 : 第一 ,H(z)的频率响应必须有可能模仿 Ha(s)的频率响应 ,即 s平面的虚轴必须映射到 z平面的单位圆上 ,也就是频率轴要对应。 第二 ,因 果稳定的 Ha(s)应能映射成因果稳定的 H(z)。 也就是 s平面的左半平面 Re[ s ] 0 必须映射到 z平面单位圆的内部 |z| 1。 “模拟原型”滤波器有多种设计方法 ,例如 : 巴特沃思型滤波 器 ,切贝雪夫型滤波器 ,椭圆函数型 (考尔型 )滤波器等。 设计时 ,是将上述满足数字滤波器性能指标要求的 ,作为“样本”的模拟滤波器映射成数字滤波器。 . . 3 IIR 滤波器的 MATLAB 设计 与仿真 FDATool界面设计 FDATool的介绍 FDATool(Filter Designamp。 Analysis Tool)是 MATLAB信号处理工具箱里专用的滤波器设计分析工具， MATLAB (Filter Design Toolbox)。 FDATool可以设计几乎所有的常规滤波器，包括 FIR和 IIR的各种设计方法。 它操作简单，方便灵活。 [7] FDATool的 界面总共分两大部分 （ 其界面如图 31所示 ）， 一部分是 Design Filter。 在界面的下半部，用来设置滤波器的设计参数；另一部分则是特性区，在界面的上半部分，用来显示滤波器的各种特性。 Design Filter 部分主要分为： Filter Type(滤波器类型 )选项，包括 Lowpass(低通 )、 Highpass(高通 )、 Bandpass(带通 )、 Bandstop(带阻 )和特殊的 FIR滤波器。 Design Method(设计方法 )选项，包括 IIR 滤波器的 Butterwotth(巴特沃思 )法、Chebyshev Type I(切比雪夫 I型 )法、 Chebyshev Type II(切比雪夫 II型 )法、 Elliptic(椭圆滤波器 )法和 FIR滤波器的 Equiripple法、 LeastSquares(最小乘 方 )法、 Window(窗函数 )法。 Filter Order(滤波器阶数 )选项，定义滤波器的阶数，包括 Specify Order(指定阶数 )和 Minimum Order(最小阶数 )。 在 Specify Order 中填入所要设计的滤波器的阶数 (N 阶滤波器， Specify Order=N1)。 如果选择 Minimum Order，则 MATLAB 根据所选择的滤波器类型自动使用最小阶数。 Frequency Specifications 选项，可以详细定义频带的各参数，包括采样频率和频带的截止频率。 它的具体选项由 Filter Type选项和 Design Method选项决定。 例如 Bandpass(带通 )滤波器需要定义 Fstop1(下阻带截止频率 )、 Fpass1(通带下限截止频率 )、 Fpass2(通带上限截止频率 )、 Fstop2(上阻带截止频率 )，而 Lowpass(低通 )滤波器只需要定义 Fstop Fpass1。 采用窗函数设计滤波器时，由于过渡带是由窗函数的类型和阶数所决定，所以只需定义通带截 止频率，而不必定义阻带参数。 Magnitude Specifications 选项，可以定义幅值衰减的情况。 例如设计带通滤波器时，可以定义 Wstop1(频率 Fstop1处的幅值衰减 )、 Wpass(通带范围内的幅值衰减 )、 Wstop2(频率Fstop2处的幅值衰减 )。 当采用窗函数设计时，通带截止频率处的幅值衰减固定为 6db，所以. . 不必定义。 Window Specifications选项，当选取采用窗函数设计，该选项可定义，它包含了各种窗函数。 图 31 滤波器设计 FDATool 界面 IIR带通 滤波器设计实例 要求设计一个 10 阶的带通 Chebyshev I滤波器，它的通带范围是 100 到 200Hz，采样频率为 1000Hz， Rp=。 本例中 ， 首先在 Filter Type中选择 Bandpass(带通滤波器 )；在 Design Method选项中选择 IIR，接着在相邻的右则选项中选择 Chebyshev I(切比雪夫 I型 )；指定 Filter Order项中的 Specify Order=10；由于采用的是切比雪夫设计，不必在 Options 中选择；然后在Frequency Specifications中选择 Unit 为 Hz，给出采样频率 Fs=1000，通带 Fpass1=100和Fpass2=200；最后在 Magnitude Specifications中选择 Unit为 db， Apass=。 设置完成后点击 Design Filter即可得到所设计的 IIR滤波器。 通过菜单选项 Analysis可以在特性区看到所设计的幅频响应、相频响应、冲击响应和零极点配置等特性，如图 3 3 34所示。 设计完成后将结果保存为。 . . 图 32 滤波器的幅频 特性图 图 33 滤波器的相频。