信息与通信]基于fpga的fir数字滤波器的设计

信息与通信]基于fpga的fir数字滤波器的设计内容摘要：

理上不可实 现。 为了能够得到一个可实现的系统，可以将 )(nhd 截取一部分，并顺序右移，使之成为一 个因果的有限长序列。 这种方法就好比在时域打开一个窗口一样，因而 称为时窗法。 可以预见，使用这种方法截取的序列越长，对理想的幅频特性逼近的越好。 常见的时窗函数有矩形窗、汉宁窗、汉明窗、布莱克曼窗、凯塞窗等。 矩形窗的表达式为：  其它,0 10,1)( Nnw nR， n 为整数。 当用矩形窗设计 FIR 滤波器时，所产生的频率响应，与理想滤波器的频率特 性相比，在理想特性不连续点 cww 处附近形成了过渡带，并在过渡带两侧形成持续时间很长，逐渐衰减的波纹，即通带内产生了波动，而阻带内产生了余振，这种现象称之为吉布斯 (Gibbs)效应。 吉布斯效应直接影响到滤波器的性能，因为通带内的波动会影响到滤波器的平稳性， 阻带 内的波动则影响阻带最小衰减。 为了克服吉布斯效应，可以从两个方面着手：一是在频域，避免理想滤波器频谱中出现的跃变现象，把它改造成一条连续光滑的曲线，所用的方法是镶边法；二是在时间域，对截尾函数 )(nh 进行改造，也即设计出好的时窗函数。 一个好的时窗函数的要求：。 （振幅或能量）相对于主瓣来说也尽可能地小。 但是这两个标准之间彼此是有矛盾的，即主瓣宽度越大，旁瓣水平才可能越低。 因此实际上，我们只能在这两个标准之间作一权衡，针对具体问题，找出一个适当的时窗函数。 五种窗函数的主要参数如表 12所示。 应当说明的是，用 时 窗函数法设计的 FIR 滤波器通带波纹幅度近似等于阻带波纹幅度。 一般阻带最小衰减达到 40dB 以上，则通带最大衰减就小于。 最后，总结一 下利用 时 窗函数设计 FIR 数字滤波器的步骤： A. 根据所需设计的数字滤波器类型（低通、高通、带通、带阻），确定线性相位数字滤波器类型。 B. 根据滤波器阻带衰减 s ，选择窗函数 )(nw 的类型，根据过渡带宽度确定时窗函数的长度 N ,并根据线性相位条件进行修正。 C． 确定理想数字滤波器的频率响应函数 )()()( wjdjwd dewHeH  ，其中 )(wHd 为幅度特性 8 函数， )(wd 为相位特性函数。 D． 计算理想滤波器的单位脉冲响应 )(nhd ，即  dweeHnh jw njwdd )(21)(。 E． 加窗得到设计结果 )(nh ，即 )()()( nwnhnh d。 表 12 五种窗函数参数表 窗函数 主瓣宽度 /rad 旁瓣水平 /db 过渡带宽度 /rad 阻带最小衰减 /db 矩形窗 N/4 13 N/  21 汉宁窗 N/8 31 N/  44 汉明窗 N/8 41 N/  53 布莱克曼窗 N/12 57 N/11 74 凯塞窗 （  =） N/  57 N/10 80 频率采样法 频率采样法是一种基于频率域抽样来逼近所要设计的 FIR 滤波器的频率特性的一种方法。 频率设计法的基本设计流程 如图 16所示。 )( jwd eH确定)()( /2 kHeH dNjd ))(()( nHID F Tnh d))(()( nhZTzH 抽样点离散傅里叶逆变换 图 16 频率设计法流程 为了保证 )(zH 具有线性相位条件，其单位采样响应 )(nh 是实序列，且满足条件)1()(  nNhnh。 对于 )(nh 偶对称的情况来说，线性相位条件如下： )()()( wjgjwd ewHeH  (113) wNw )1(21)(  (114) 9 令 Nkw /2 代入式（ 113）、（ 114），得到 )()()( kjgd ekHkH  (115) 式中， Nkwgg wHkH /2|)()(  Nkwwk /2|)()(   )()( kNHkH gg  ， N 为奇数 )()( kNHkH gg  ， N为偶数。 频率响应函数 )( jweH 在各采样点上等于 )(kHd ，而采样点之间的值 )( jweH 是由各采样值之间的内插函数叠加形成，因而有一定的逼近误差，误差的大小取决于理想频率响应的曲线形状。 采样点之间的理想频率特性变化越陡，则内插值与理想值之间的误差就越大，因而在理想频率响应特性的不连续点附近，就会产生肩峰和波纹；反之，理想频率响应特性变化越平缓，则内插值越接近理想值，逼近误差小。 因此，可以在理想频率下响应特性的通带与阻带之间设置过渡带，从而减小逼近误差。 过渡带的采样点个数 m与所设计的滤波器的阻带最 小衰减 s 有关，具体如表 23所示。 此外过渡带的带宽与采样点数 m 之间的关系为： NmB /)1(2   (116) 表 13 过渡带采样点数与阻带最小衰减的关系 m 0 1 2 3 s /dB 20 44～ 54 65～ 75 85～ 95 综上，频率采样法的设计步骤为： A. 根据阻带最小衰减 s ，确定过渡带的样点数 m。 B. 根据过渡带宽度 B 的要求，估算滤波器的长度。 C. 构造希望逼近的频率响应函数 )( jwd eH ，一般 )( jwd eH 为具有理想频率特性，并满足线性相位的要求。 D. 对 )( jwd eH 进行频域等间隔 N点采样，得到 )(kHd。 E. 对 )(kHd 进行 N点 IDFT，得到 )(nh。 10 等波纹最佳逼近法 等波纹最佳逼近法是基于最大误差最小化的设计原则。 最大误差最小化能使幅度误差在整个逼近频段上均匀分布，即所设计的 FIR 数字滤波器的幅度特性在通带和阻带范围内是等波纹的，且可以分别独立控制通带和阻带的波纹幅度，并且在滤波器长度给定的情况下，加权的幅度波纹误差最小。 定义加权幅度误差函数为 )]()()[()( wHwHwWwe d  (117) ，式中 )(wW 为幅度误差加权函数，用来控制不同频带 的幅度逼近误差。 一般地，在要求逼近精度高的频带， )(wW 取值大，而要求逼近误差精度低的频带， )(wW 取值小。 设计过程中 )(wW 是由设计者根据通带最大衰减 p 和阻带最小衰减 s 的指标要求取定的已知函数。 对于 FIR 数字低通滤波器，常取 :     wwk wwkwWpp, 0,/)( 12 (118) 式中， 1 和 2 分别为滤波器设计指标中通带和阻带 的振荡波纹幅度， k 为正的系数。 滤波器的通带最大衰减 p 和阻带最小衰减 s 与通带和阻带的振荡波纹幅度 1 和 2 的换算关系为： 110 110 20/20/1  pp (119) 20/2 10 s  (120) 等波纹最佳逼近法的设计，在于找到滤波器的系数向量 )(nh ，使得在通带 ],0[ pw 和阻 带],[ sw 频带内的最大绝对值幅度误差 )(we 为最小。 帕克斯 麦克莱伦采用基于交替定理的雷米兹交替算法，通过逐次迭代逼近的运算求得滤波器的系数向量 )(nh ，从而实现等波纹最佳逼近法。 一般情况下，估计滤波器长度 N的凯塞经验公式为： 1)2/(13lg (20 21 ps wwN (121) 11 综上，用等波纹最佳逼近法设计 FIR 数字滤波器的步 骤为： A. 根据滤波器的设计指标要求：边界频率、通带最大衰减 p 、阻带最小衰减 s 等，估计滤波器的长度，并确定幅度误差加权函数。 B. 采用雷米兹交替算法，获得所设计的滤波器的单位脉冲响应 )(nh。 三种设计方法的比较 时窗函数法和频率采样法，设计简单方便，易于实现，缺点是不能够精确指定滤波器的边界频率 pw 和 sw ，并且不能够分别控制通带和阻带波纹。 等波纹法能够分别独立控制通带和阻带波纹，确定边界频率，并且所设计的滤波器的阶数 与 前两种方法 相比要 少。 12 第二章 基于 MATLAB 的 FIR 数字滤波器的设计与仿真 MATLAB 软件 MATLAB 是由 MATRIX 和 LABORATORY 两个英文单词的前三个字母组合而成，意为矩阵实验室。 它有着强大的数值分析、符号运算、信号处理和图形显示的功能，能够满足绝大部分的计算要求。 MATLAB 程序语言语法结构和 C 语言相似，简单 易用，可移植性好，易于开发。 MATLAB 内嵌了许多科学研究和工程应用领域的工具箱（ Tool box），诸如优化算法、神经网络、信号处理、图像处理、嵌入式系统开发、 DSP 与通讯、电力系统仿真等，使用户可以直接使用工具箱进行学习、应用和研究而不需要自己编写代码。 MATLAB 内嵌了一个优秀的仿真软件 Simulink，主要用来实现对工程问题的建模和动态仿真。 Simulink 应用了模块化设计和系统级仿真的思想，使得建模仿真如同搭积木一样简单。 Simulink 可以应用于动力系统、信号控制、通信系统设计、金融财 会及生物医学等多个领域。 Simulink 还可以与 MATLAB 中的 DSP 工具箱、信号处理工具箱以。