高中数学苏教版选修2-1第3章空间向量与立体几何23

高中数学苏教版选修2-1第3章空间向量与立体几何23内容摘要：

n 〉 |＝ 2 69 . 规律方法 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量 ， 一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系 . 跟踪演练 2 如图所示 ， 已知直角梯形 ABCD， 其 中 AB＝ BC＝ 2AD， AS⊥ 平面 ABCD， AD∥ BC， AB ⊥ BC， 且 AS＝ SC与底面 ABCD的夹角 θ的 余弦值 . 解 由题设条件知 ， 以点 A为坐标原点 ， 分别以 AD、 AB、 AS所在直线为 x轴 、 y轴 、 z轴 ， 建立空 间直角坐标系 (如图所示 ). 设 AB＝ 1， 则 A(0,0,0)， B(0,1,0)， C (1,1, 0) ， D12 ， 0 ， 0 ， S (0,0, 1) . ∴ AS→＝ (0, 0,1) ， CS→＝ ( － 1 ，－ 1, 1) . 显然 AS→是底面的法向量，它与已知向量 CS→的夹角 β ＝π2 － θ ， 故有 si n θ ＝ cos β ＝AS→ CS→| AS→|| CS→|＝11 3＝33 ， ∵ θ ∈ [0 ， π2 ] . ∴ cos θ ＝ 1 － si n 2 θ ＝ 63 . 要点三 求二面角 例 3 在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中 ， 求二面角 A1－ BD－ C1的余弦值 . 解 不妨设正方体的棱长为 1 ，以 DA→， DC→， DD 1→为单 位正交基底， 建立如图所示的空间直角坐标系 D－ xyz， 取 BD的中点 E，连结 A1E， C1E. 因为 △DBA1和 △BDC1都是正三角形 ， 所以 A1E⊥ BD， C1E⊥ BD， 故 ∠ A 1 EC 1 是二面角 A 1 － BD － C 1 的平面角，也就是 EA 1→与EC 1→的夹角 . 又 E (12 ，12 ， 0) ， A 1 (1, 0,1 ) ， C 1 (0, 1,1 ) ， 可得 EA 1→ ＝ (12 ，－12 ， 1) ， EC 1→ ＝ ( － 12 ，12 ， 1) . EA 1 ＝14＋14＋ 1 ＝62， EC 1 ＝14＋14＋ 1 ＝62， EA 1→ EC 1→＝－14－14＋ 1 ＝12. cos 〈 EA 1→， EC 1→〉＝126262＝13. 即二面角 A 1 － BD － C 1 的余弦值为13 . 规律方法 (1)当空间直角坐标系容易建立 (有特殊的位置关系 )时 ， 用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角 .只需求出平面的法向量 ， 经过简单的运算即可求出 ， 有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小 (相等戒互补 )，但我们可以根据图形观察得到结论 ， 因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的 . (。