高中数学苏教版选修2-1第2章圆锥曲线与方程42

高中数学苏教版选修2-1第2章圆锥曲线与方程42内容摘要：

跟踪演练 2 已知直线 l经过抛物线 y2＝ 6x的焦点 F， 且与抛物线相交于 A、 B两点 . (1)若直线 l的倾斜角为 60176。 ， 求 AB的值； 解 因为直线 l的倾斜角为 60176。 ， 所以其斜率 k ＝ ta n 6 0176。 ＝ 3 ， 又 F (32 ， 0) . 所以直线 l 的方程为 y ＝ 3 ( x －32 ) . 联 立 y2＝ 6 x ，y ＝ 3  x －32消去 y 得 x2－ 5 x ＋94＝ 0. 若设 A(x1， y1)， B(x2， y2).则 x1＋ x2＝ 5， 而 AB ＝ AF ＋ BF ＝ x 1 ＋p2 ＋ x 2 ＋p2 ＝ x 1 ＋ x 2 ＋ p . 所以 AB＝ 5＋ 3＝ 8. (2)若 AB＝ 9， 求线段 AB的中点 M到准线的距离 . 解 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由抛物线定义知 AB ＝ AF ＋ BF ＝ x1 ＋p2 ＋ x 2 ＋p2 ＝ x1＋ x2＋ p＝ x1＋ x2＋ 3＝ 9， 所以 x1＋ x2＝ 6， 于是线段 AB的中点 M的横坐标是 3， 又准线方程是 x ＝－ 32 ， 所以 M 到准线的距离等于 3 ＋ 32 ＝ 92 . 要点三 直线与抛物线的位置关系 例 3 已知抛物线的方程为 y2＝ 4x， 直线 l过定点 P(－ 2,1)，斜率为 k， k为何值时 ， 直线 l与抛物线 y2＝ 4x：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点。 解 由题意 ， 设直线 l的方程为 y－ 1＝ k(x＋ 2). 由方程组 y － 1 ＝ k  x ＋ 2  ，y 2 ＝ 4 x ， (*) 可得 ky2－ 4y＋ 4(2k＋ 1)＝ 0. ① (1)当 k＝ 0时 ， 由方程 ① 得 y＝ 1. 把 y ＝ 1 代入 y 2 ＝ 4 x ，得 x ＝14 . 这时，直线 l 与抛物线只有一个公共点 (14 ， 1) . (2)当 k≠ 0时 ， 方程 ① 的判别式为 Δ＝－ 16(2k2＋ k－ 1). 1176。 由 Δ＝ 0， 即 2k2＋ k－ 1＝ 0， 解得 k ＝－ 1 ，戒 k ＝ 12 . 于是，当 k ＝－ 1 ，戒 k ＝12 时，方程 ① 只有一个解， 从而方程组 (*)只有一个解 . 这时 ， 直线 l与抛物线只。