高中数学苏教版选修2-1第2章圆锥曲线与方程22(二)

高中数学苏教版选修2-1第2章圆锥曲线与方程22(二)内容摘要：

A(x1， y1)、 B(x2， y2)， 则 AB ＝  k 2 ＋ 1  x1 － x 2 2 ＝ 2 4 b 2 － 4  a ＋ b  b － 1  a ＋ b  2. ∵ AB ＝ 2 2 ， ∴a ＋ b － aba ＋ b＝ 1. ① 设 C ( x ， y ) ，则 x ＝x 1 ＋ x 22＝ba ＋ b， y ＝ 1 － x ＝aa ＋ b， ∵ OC 的斜率为22， ∴ab＝22. 代入 ① ，得 a ＝13， b ＝23. ∴ 椭圆方程为 x23 ＋23 y2 ＝ 1. 规律方法 处理直线不椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线不椭圆构成的方程 .利用根不系数的关系戒中点坐标公式解决 ， 涉及弦的中点 ， 还可使用点差法：设出弦的两端点坐标 ， 代入椭圆方程 ， 两式相减即得弦的中点不斜率的关系 . 跟踪演练 2 已知椭圆x236＋y29＝ 1 和点 P ( 4,2) ，直线 l 经过点P 且不椭圆交于 A 、 B 两点 . (1) 当直线 l 的斜率为12时，求线段 AB 的长度； 解 由已知可得直线 l 的方程为 y － 2 ＝12 ( x － 4) ， 即 y ＝12 x . 由 y ＝12x ，x236＋y29＝ 1 ，可得 x2－ 18 ＝ 0 ， 若设 A(x1， y1)， B(x2， y2). 则 x1＋ x2＝ 0， x1x2＝－ 18. 于是 AB ＝  x 1 － x 2  2 ＋  y 1 － y 2  2 ＝  x 1 － x 2  2 ＋ 14  x 1 － x 2 2 ＝52  x 1 ＋ x 2 2 － 4 x1 x 2 ＝52 6 2 ＝ 3 10 . 所以线段 AB 的长度为 3 10 . (2)当 P点恰好为线段 AB的中点时 ， 求 l的方程 . 解 方法一 设 l的斜率为 k， 则其方程为 y－ 2＝ k(x－ 4). 联立 x236＋y29＝ 1 ，y － 2 ＝ k  x － 4  ， 消去 y得 (1＋ 4k2)x2－ (32k2－ 16k)x＋ (64k2－ 64k－ 20)＝ 0. 若设 A ( x1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则 x 1 ＋ x 2 ＝32 k 2 － 16 k1 ＋ 4 k 2， 由于 AB的中点恰好为 P(4,2)， 所以x 1 ＋ x 22＝16 k 2 － 8 k1 ＋ 4 k 2＝ 4 ， 解得 k ＝－12，且满足 Δ 0. 这时直线的方程为 y － 2 ＝－12( x － 4) ， 即 x＋ 2y－ 8＝ 0. 方法二 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则有 x2136＋y219＝ 1 ，x2236＋y229＝ 1 ，。