高中数学北师大版选修2-1第二章第一课时空间向量与平行关系

高中数学北师大版选修2-1第二章第一课时空间向量与平行关系内容摘要：

令 z ＝ 1 ，得 x ＝ y ＝ 1 ，所以 n ＝ (1,1,1 ) ，所以 OD n ＝－a2＋a2＝ 0 ，所以 OD ⊥ n ，因为 OD 不在平面 P A B 内，所以 OD ∥ 平面 P A B . 法二 ： 因为 O 、 D 分别是 AC 、 PC 的中点， 所以 OD ＝ CD － CO ＝12CP －12CA ＝12AP ，所以 OD ∥ AP ，即 OD ∥ AP ， OD 平面 P AB ， PA 面 P AB ，所以 OD ∥ 平面P AB . [一点通 ] 用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外． 4．在长方体 ABCD－ A1B1C1D1中， AB＝ 3， AD＝ 4， AA1 ＝ M在棱 BB1上，且 BM＝ 2MB1，点 S在 DD1上，且SD1＝ 2SD，点 N， R分别为 A1D1， BC的中点 .求证：MN∥ 平面 RSD. 证明：法一： 如图所示，建立空间直角坐标系，则根据题意得 M3 ， 0 ，43，N ( 0,2,2) ， R ( 3,2,0) ， S0 ， 4 ，23. ∴ MN ＝－ 3 ， 2 ，23， RS ＝－ 3 ， 2 ，23， MN ＝ RS . ∴ MN ∥ RS . ∵ M ∉ RS .∴ MN ∥ RS . 又 RS 平面 RS D ， MN 平面 R S D ， ∴ MN ∥ 平面 RS D . 法二： 设 AB ＝ a ， AD ＝ b ，1AA＝ c ， 则 MN ＝1MB＋11BA＋1AN＝13c － a ＋12b ， RS ＝ RC ＋ CD ＋ DS ＝12b － a ＋13c ， ∴ MN ＝ RS ， ∴ MN ∥ RS ， 又 ∵ R ∉ MN ， ∴ MN ∥ RS . 又 RS 平面 R S D ， MN 平面 R S D ， ∴ MN ∥ 平面 R S D . 证明：法一： 以 D 为原点， DA ， DC ，1DD分别为 x ， y ， z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 2 ， 则 A ( 2,0,0) ， D1( 0,0,2) ， C ( 0,2,0) ， B ( 2,2,0) ， O1( 1,1,2) ， ∴1AD ＝ ( － 2,0,2) ，1CD ＝ (0 ，－ 2,2) ， 5．在正方体 ABCD－ A1B1C1D1中， O1为 B1D1的中点，求 证： BO1∥ 平面 ACD1. 1BO＝ ( － 1 ，－ 1 ， 2) ， ∴1BO＝121AD＋121CD， ∴1BO与1AD，1CD共面． ∴1BO∥ 平面 ACD1. 又 BO1平面 ACD1， ∴ BO1∥ 平面 ACD1. 法二： 在证法一建立的空间直角坐标系下，取 AC 的中点 O ，连接 D1O ，则 O ( 1, 1,0) ， ∴1DO＝ ( 1,1 ，－ 2) ． 又1BO ＝ ( － 1 ，－ 1,2) ， ∴1DO ＝－1BO . ∴1DO ∥1BO . 又 ∵1DO 与1BO 不共线 ， ∴ D 1 O ∥ BO 1 . 又 BO 1 平面 ACD 1 ， ∴ BO 1 ∥ 平面 ACD 1 . [例 3] (12分 )正方体 ABCD－ A1B1C1D1的棱长为 4，M、 N、 E、 F分别是棱 A1D A1B D1C B1C1的中点，求证：平面 AMN∥ 平面 EFBD. [思路点拨 ] 本题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后。