高中数学北师大版选修2-1第二章第二课时空间向量与垂直关系

高中数学北师大版选修2-1第二章第二课时空间向量与垂直关系内容摘要：

－12，－12，12，1BA ＝ (0 ，－ 1 ，－ 1) ， 1BC ＝ ( － 1,0 ，－ 1) ， 又 EF 1BA ＝ 0 ， EF 1BC ＝ 0 ， ∴ EF ⊥ B1A ， EF ⊥ B1C 又 B1C ∩ B1A ＝ B1， ∴ EF ⊥ 平面 B1AC . 4．如图，正三棱柱 ABC－ A1B1C1的所有棱长都为 2， D为 CC1中点． 求证： AB1⊥ 平面 A1BD. 证明： 取 BC 中点 O ， B 1 C 1 中点 O 1 ，以 O为原点， OB ，1OO， OA 的方向为 x ，y ， z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 B ( 1,0,0) ， D ( － 1,1,0) ，A 1 ( 0,2 ， 3 ) ， A ( 0,0 ， 3 ) ， B 1 ( 1,2,0) ， ∴1AB＝ ( 1,2 ，－ 3 ) ， BD ＝ ( － 2, 1,0) ，1BA＝ ( － 1,2 ， 3 ) ． ∵1AB BD ＝－ 2 ＋ 2 ＋ 0 ＝ 0 ，1AB1BA＝－ 1 ＋ 4 － 3 ＝ 0 ， ∴1AB⊥ BD ，1AB⊥1AB. 即 AB 1 ⊥ BD ， A B 1 ⊥ BA 1 . 又 BD ∩ BA 1 ＝ B ， ∴ AB 1 ⊥ 平面 A 1 BD . [例 3] (12分 )在四面体 ABCD中， AB⊥ 平面 BCD，BC＝ CD， ∠ BCD＝ 90176。 ， ∠ ADB＝ 30176。 ， E， F分别是AC， AD的中点．求证：平面 BEF⊥ 平面 ABC. [思路点拨 ] 本题可建立空间坐标系后，证明面BEF内某一直线的方向向量为面 ABC的法向量；也可分别得出两面的法向量，证明法向量垂直． [ 精解详析 ] 建立空间直角坐标系如图，设AB ＝ a ，则 BD ＝ 3 a ，于是 A (0,0 ， a ) ， B (0,0,0 ) ，C32a ，32a ， 0 ， D (0 ， 3 a, 0) ， E34a ，34a ，a2，F0 ，32a ，a2， ( 3 分 ) 法一 ： 可得 EF ＝－34a ，34a ， 0 ， BA ＝ (0,0 ， a ) ， BC ＝32a ，32a ， 0 ， (6 分 ) ∴ EF BA ＝ 0 ， EF BC ＝ 0. 即 EF ⊥ AB ， EF ⊥ BC . (8 分 ) 又 AB ∩ BC ＝ B ， ∴ EF ⊥ 平面 A B C .。