语文版中职数学拓展模块63等比数列的性质1

语文版中职数学拓展模块63等比数列的性质1内容摘要：

－ 1 ) 34＝3 n － 14， 得 a n ＝ ( 3 n － 1 ) 2n － 2. 【点拨】 ( 1 ) 证明数列 { b n } 是等比数列 ， 常用方法： ① 定义法； ② 等比中项法． (2 ) 证明数列不是等比数列 ， 可举一个反例或用反证法． ( 2 0 1 3 陕西 ) 设 { }a n 是公比为 q的等比数列 . ( 1 ) 推导 { }a n 的前 n 项和公式； ( 2 ) 设 q ≠ 1 , 证明数列 { a n ＋ 1} 不是等比数列 ． 解： ( 1 ) 设 { }a n 的前 n 项和为 Sn， 当 q ＝ 1 时 ， Sn＝ a1＋ a1＋ „ ＋ a1＝ na1； 当 q ≠ 1 时 ， Sn＝ a1＋ a1q ＋ „ ＋ a1qn － 1 , ① qSn＝ a1q ＋ a1q2＋ „ ＋ a1qn， ② ① － ② 得 ， ( )1 － q Sn＝ a1－ a1qn. ∴ Sn＝a1 ( )1 － qn1 － q， ∴ Sn＝na1， q ＝ 1 ，a1 ( )1 － qn1 － q， q ≠ 1. ( 2) 证明 ( 反证法 ) ：假设数列 { an＋ 1} 是等比数列 ， 则对任意的 k ∈ N＋， ( )a k ＋ 1 ＋ 12＝ ( )a k ＋ 1( )a k ＋ 2 ＋ 1 ， a2k ＋ 1＋ 2 ak ＋ 1＋ 1 ＝ akak ＋ 2＋ ak＋ ak ＋ 2＋ 1 ， a21q2 k＋ 2 a1qk＋ 1 ＝ a1qk － 1a1qk ＋ 1＋ a1qk － 1＋ a1qk ＋ 1＋ 1 ， ∵ a1≠ 0 ， ∴ 2 qk＝ qk － 1＋ qk ＋ 1. ∵ q ≠ 0 ， ∴ q2－ 2 q ＋ 1 ＝ 0. ∴ q ＝ 1 ， 与已知矛盾． ∴ 数列 { an＋ 1} 不是等比数列． 类型二 等比数列基本量的计算 ( 1 ) 在等比数列 { a n } 中 ， a 3 ＝ 7 ，前 3 项之和 S 3 ＝ 21 ， 则公比 q 的值为_ _ _ _ _ _ _ _ ． 解： 根据已知条件得 a 1 q2＝ 7 ，a 1 ＋ a 1 q ＋ a 1 q2＝ 21 ， ∴1 ＋ q ＋ q2q2 ＝ 3 ， 整理得 2 q2－ q － 1 ＝ 0 ， 解得 q ＝ 1 或 q ＝－12.故填 1 或－12. ( 2 )( 2020 唐山一模 ) 已知等比数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ， 且 a 1 ＋ a 3 ＝52， a 2 ＋ a 4 ＝54， 则S na n ＝ ________. 解： 设 { an} 的公比为 q ， ∵ a1＋ a3＝52， ①a2＋ a4＝（ a1＋ a3） q ＝54， ② ② 247。 ① 得 q ＝12， ∴ a1＝ 2 ， ∴ an＝ 2 12n － 1＝42n ， ∴ Sn＝2 1 －12n1 －12＝ 41 －12n ， ∴Snan＝41 －12n42n＝ 2n－ 1. 故填 2n－ 1 . ( 3 ) 设数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足 6 S n ＋ 1 ＝ 9 a n ( n ∈ N*) ． ( Ⅰ ) 求数列 { a n } 的通项公式； ( Ⅱ ) 若数列 { b n } 满足 b n ＝1a n， 求数列 { b n } 前 n 项和 T n . 解： ( Ⅰ ) 当 n ＝ 1 时 ， 由 6 a1＋ 1 ＝ 9 a1， 得 a1＝13. 当 n ≥ 2 时 ， 由 6 Sn＋ 1 ＝ 9 an， 得 6 Sn － 1＋ 1 ＝ 9 an － 1， 两式相减得 6 ( Sn－ Sn － 1) ＝ 9 ( an－ an － 1) ， 即 6 an＝ 9 ( an－ an － 1) ， ∴ an＝ 3 an － 1. ∴ 数列。