苏教版选修1-2高中数学213推理案例赏析

苏教版选修1-2高中数学213推理案例赏析内容摘要：

， AC2＝ BC DC ， ∴1AD2 ＝1BD DC ＝BC2BD BC DC BC＝BC2AB2 AC2 图 ① 又 BC2＝ AB2＋ AC2， ∴1AD2 ＝AB2＋ AC2AB2＋ AC2＝1AB2 ＋1AC2 . 所以1AD2 ＝1AB2 ＋1AC2 . 类比 AB ⊥ AC ， AD ⊥ BC 猜想： 四面体 A BCD 中 ， AB 、 AC 、 AD 两两垂直， AE ⊥ 平面 BCD ，则1AE2 ＝1AB2 ＋1AC2 ＋1AD2 . 如图 ② ，连接 BE 交 CD 于 F ，连接 AF . ∵ AB ⊥ AC ， AB ⊥ AD ， ∴ AB ⊥ 平面 ACD . 图 ② 而 AF ⊂ 平面 ACD ， ∴ AB ⊥ AF ， 在 Rt △ ABF 中， AE ⊥ BF ， ∴1AE2 ＝1AB2 ＋1AF2 . 在 Rt △ ACD 中， AF ⊥ CD ， ∴1AF2 ＝1AC2 ＋1AD2 . ∴1AE2 ＝1AB2 ＋1AC2 ＋1AD2 ， 故猜想正确． 规律方法 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似，推 出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法．例如分式与 分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等． 【训练 2 】 已知椭圆 C ：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 具有性质：若 M 、 N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点，点 P 是椭圆上任意 一点，当直线 PM 、 PN 的斜率都存在，并记为 kPM、 kPN时， 那么 kPM与 kPN之积是与点 P 位置无关的定值．试对双曲线x2a2 －y2b2 ＝ 1 写出具有类似的性质，并加以证明． 解 类似的性质：若 M 、 N 是双曲线x2a2 －y2b2 ＝ 1 上关于原点 对称的两点，点 P 是双曲线上任意一点，当直线 PM 、 PN 的斜率都存在，并记为 kPM、 kPN时，那么 kPM与 kPN之积是 与点 P 位置无关的定值． 证明如下： 设点 M 、 P 的坐标为 ( m ， n ) ， ( x ， y ) ， 则 N ( － m ，－ n ) ． 因为点 M ( m ， n ) 在已知双曲线上， 所以 n2＝b2a2 m2－ b2，同理 y2＝b2a2 x2－ b2. 则 kPM kPN＝y － nx － my ＋ nx ＋ m＝y2－ n2x2－ m2＝b2a2 x2－ m2x2－ m2＝b2a2 ，是一个 定值． 题型三 推理的综合应用 【例 3 】 (14 分 ) (1) 已知， x ， y ∈ R ，求证： ①12x2＋12y2≥12x。