苏教版选修1-1高中数学13全称量词与存在量词

苏教版选修1-1高中数学13全称量词与存在量词内容摘要：

2 0 ； ② x ∈ N ， x4≥ 1 ； ③ x ∈ Z ， x31 ； ④ x ∈ Q ， x2＝ 3. 其中是真命题的是 _ _ _ _ _ _ _ _ ( 把所有真命题的序号都填上 ) ． 【解析】 ① 由于 x ∈ R ， 都有 x2≥ 0 ， 因而有 x2＋ 2 ≥ 2 0 ， 即 x2＋ 2 0 . 所以命题 “ x ∈ R ， x2＋ 2 0 ” 是真命题． ② 由于 0 ∈ N ， 当 x ＝ 0 时 ， x4≥ 1 不成立． 所以命题 “ x ∈ N ， x4≥ 1 ” 是假命题． ③ 由于－ 1 ∈ Z ， 当 x ＝－ 1 时 ， x31 成立． 所以命题 “ x ∈ Z ， x31 ” 是真命题． ④ 由于使 x2＝ 3 成立的数只有 177。 3 ， 而它们都不是有理数 ， 因此 ， 没有任何一个有理数的平方等于 3. 所以命题 “ x ∈ Q ， x2＝ 3 ” 是假命题． 【答案】 ①③ 含有一个量词的命题的否定 写出下列命题的否定 ， 并判断其真假． ( 1 ) p ： x ∈ R ， 都有 | x |＝ x ； ( 2 ) p ： x ∈ R ， 都有 x3 x2； ( 3 ) p ：至少有一个二次函数没有零点； ( 4 ) p ：存在一个角 α ∈ R ， 使得 si n2α ＋ c o s2α ≠ 1. 【思路探究】 首先弄清楚所给命题是全称命题还是存在性命题 ， 然后针对量词和结论两方面进行否定． 【自主解答】 ( 1 ) p 是全称命题．其否定为： x ∈ R ， 有| x |≠ x ；如 x ＝－ 1 ， 则 |－ 1| ＝ 1 ≠ － 1 ， 所以其否定是真命题． ( 2 ) p 是全称命题．其否定为： x ∈ R ， 使 x3≤ x2；如 x ＝－ 1 时 ， ( － 1)3＝－ 1 ≤ ( － 1)2， 所以其否定是真命题． ( 3 ) p 是存在性命题 ， 其否定为：所有二次函数都有零点．如二次函数 y ＝ x2＋ 2 x ＋ 3 ＝ ( x ＋ 1)2＋ 2 0 ， ∴ x ∈ R ， y＝ x2＋ 2 x ＋ 3 ≠ 0 ， 所以其否定为假命题． ( 4 ) p 是存在性命题．其否定为： α ∈ R ， si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， 显然其否定为真命题． 1 ． 一般而言 ， 全称命题的否定是一个存在性命题 ， 存在性命题的否定是一个全称命题．因此 ， 在叙述命题的否定时 ，要注意量词间的转换． 2 ． 注意原命题中是否有省略的量词 ， 要理解原命题的本质．如 “ 三角形有外接圆 ” 的本质应为 “ 所有三角形都有外接圆 ” ， 因此 ， 其否定为 “ 存在一个三角形没有外接圆 ” ． ( 1 ) ( 2 0 1 3 扬州高二检测 ) 命题： “ x ∈ R ， x2＋ x ＋ 1 ≤ 0 ”的否定是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) ( 2 0 1 2 湖北高考改编 ) 命题 “ x 0 ∈ ∁ R Q ， x30 ∈ Q ” 的否定是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 【解析】 ( 1 ) ∵ 命题 “ x ∈ R ， x2＋ x ＋ 1 ≤ 0 ” 是存在性命题 ， ∴ 否定命题为： x ∈ R ， x2＋ x ＋ 1 0 ， 故答案为： x ∈ R ， x2＋ x ＋ 1 0 . ( 2 ) “ ” 的否定是 “ ”， x3∈ Q 的否定是 x3Q . 命题 “ x0∈ ∁ R Q ， x30∈ Q ” 的否定是 “ x ∈ ∁ R Q ，x3Q ” ． 【答案】 ( 1 ) x ∈ R ， x 2 ＋ x ＋ 1 0 ( 2 ) x ∈ ∁ R Q ，x 3 Q 转化思想在含有量词问题中的应用 ( 1 4 分 ) 已知奇函数 f ( x ) 的定义域为实数集 R ， 且f ( x ) 在 [0 ， ＋ ∞ ) 上是增函数 ， 当 0 ≤ θ ≤π2时 ， 是否存在这样的实数 m ， 使 f ( c o s 2 θ － 3) ＋ f (4 m － 2 m c o s θ ) f ( 0 ) 对所有的θ ∈ [0 ，π2。