苏教版选修1-1高中数学11命题及其关系1

苏教版选修1-1高中数学11命题及其关系1内容摘要：

x2＋ bx ＋ c ＝ 0没有实数根或只有一个根 ， 是假命题．这是因为逆命题是假命题 ， 否命题和逆命题互为逆否命题 ， 具有相同的真假性． 逆否命题：已知 a ， b ， c ∈ R ， 若 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 没有实数根或只有一个根 ， 则 ac ≥ 0 ， 是真命题．因为原命题是真 命题 ，逆否命题与原命题同真假． 1 ． 写出一个命题的其他三种命题 ， 关键是找出原命题的条件和结论 ， 对于像 ( 1 ) 这样的命题 ， 条件与结论不明显 ， 需将原命题改写成 “ 若 p 则 q ” 的形式 ， 必要时可以加入字母或文字． 2 ． 若命题含有大前提 ， 注意大前提既不是命题的条件也不是命题的结论 ， 所以其他三种命题中都需保留大前提． 分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题 ， 并判断它们 的真假． ( 1 ) 若 q ≤ 1 ， 则方程 x2＋ 2 x ＋ q ＝ 0 有实根； ( 2 ) 若 ab ＝ 0 ， 则 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ； ( 3 ) 若 x2＋ y2＝ 0 ， 则 x ， y 全为零． 【解】 ( 1 ) 逆命题：若方程 x2＋ 2 x ＋ q ＝ 0 有实根 ， 则 q ≤ 1.为真命题． 否命题：若 q ＞ 1 ， 则方程 x2＋ 2 x ＋ q ＝ 0 无实根．为真命题． 逆否命题：若方程 x2＋ 2 x ＋ q ＝ 0 无实根 ， 则 q ＞ 1. 为真命题． ( 2 ) 逆命题：若 a ＝ 0 或 b ＝ 0 ， 则 ab ＝ 0. 为真命题． 否命题：若 ab ≠ 0 ， 则 a ≠ 0 且 b ≠ 0. 为真命题． 逆否命题：若 a ≠ 0 且 b ≠ 0 ， 则 ab ≠ 0. 为真命题． ( 3 ) 逆命题 ：若 x ， y 全为零 ， 则 x2＋ y2＝ 0. 为真命题． 否命题：若 x2＋ y2≠ 0 ， 则 x ， y 不全为零．为真命题． 逆否命题：若 x ， y 不全为零 ， 则 x2＋ y2≠ 0. 为真命题． 逆否命题的应用 判断命题 “ 若 m ＞ 0 ， 则方程 x 2 ＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有实数根 ” 的逆否命题的真假． 【思路探究】 【自主解答】 法一 方程 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 的判别式 Δ＝ 12 m ＋ 4. ∵ m 0 ， ∴ 12 m 0 ， ∴ 12 m ＋ 4 ＞ 0. ∴ 原命题 “ 若 m ＞ 0 ， 则方程 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有实数根 ”为真． 又因原命题与它的逆否命题等价 ， 所以 “ 若 m ＞ 0 ， 则方程 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有实数根 ” 的逆否命题也为真． 法二 原命题 “ 若 m ＞ 0 ， 则 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有实数根 ”的逆否命题为 “ 若 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 无实数根 ， 则 m ≤ 0 ” ． ∵ x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 无实数根 ， ∴ Δ ＝ 12 m ＋ 4 ＜ 0 ， ∴ m －13， ∴ m ≤ 0. ∴ “ 若 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 无实数根 ， 则 m ≤ 0 ” 为真命题． 因此 “ 若 m ＞ 0 ， 则方程 x2＋ 2 x － 3 m ＝ 0 有实数根 ” 的逆否命题是真命题 . 1 ． 由于原命题与其逆否命题是等价的 ， 因此当原命题不易证明或不易判断真假时 ， 可考虑证明或判断它的逆否命题是否成立． 2 ． 利用逆否命题与原命题等价 ， 可以省去否定条件和结论的过程 ， 简化问题的求解． 把 本例命题改换成 “ 已知 a ， x 为实数 ， 若关于 x 的不等式 x2＋。