第三章43

第三章43内容摘要：

直线 l 存在 ， 其方程为 2 x ＋ y － 1 ＝ 0. 12 分 【 名师点评 】 依据直线与圆锥曲线的交点个数求方程中的参数时 ， 将二者的方程联立为方程组 ， 并消元转化为一元方程 ， 此时注意观察方程的二次项系数是否为 0， 若为 0，即方程为一次方程 ， 只有一个解和无解两种情况；若不为 0， 即方程为二次方程 ， 将方程解的个数转化为判别式与 0的大小关系可解 ． 变式训练 2. 已知探照灯的轴截面是抛物线 y2＝ x， 平行于 x轴的光线照射到抛物线上的点 P(1， － 1)，反射光线过抛物线焦点后又照射到抛物线上的点 Q的坐标 ． 解： 因为抛物线 y2＝ x 的焦点为 F (14， 0 ) ， 点P (1 ，－ 1 ) ， 所以直线 PF 的方程为y － 0x －14＝－ 1 － 01 －14， 即 y ＝－43( x －14) ． 由于 Q ( x ， y ) 是抛物 线与直线 PF 的公共点 ， 解方程组y ＝－43（ x －14）y2＝ x， 得 x 1 ＝116y1＝14， x2＝ 1y2＝－ 1( 舍去 ) ． 故点 Q 的坐标为 (116，14) ． 直线与圆锥曲线的弦长及中点问题 例 3 ( 201 1 高考江西卷 ) 已知过抛物线 y2＝2 p x ( p 0) 的焦点 ， 斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A ( x1， y1) ， B ( x2， y2)( x1 x2) 两点 ， 且 | AB |＝ 9. ( 1) 求该抛物线的方程； ( 2) O 为坐标原点 ， C 为抛物线上一点 ， 若 OC→＝ OA→＋ λ OB→， 求 λ 的值． 【解】 ( 1 ) 直线 AB 的方程是 y ＝ 2 2x －p2，与 y2＝ 2 px 联立 ， 从而有 4 x2－ 5 px ＋ p2＝ 0 ， 所以 x1＋ x2＝5 p4. 由抛物线定义得 | AB |＝ x1＋ x2＋ p ＝ 9 ， 所以 p ＝ 4 ， 从而抛物线方程是 y2＝ 8 x . ( 2) 由 p ＝ 4 知 4 x2－ 5 px ＋ p2＝ 0 可化为 x2－ 5 x ＋ 4 ＝ 0 ， 从而 x1＝ 1 ， x2＝ 4 ， y1＝－ 2 2 ， y2＝ 4 2 ， 从而 A (1 ，－ 2 2 ) ， B (4 ， 4 2 ) ． 设 OC→＝ ( x3， y3) ＝ (1 ，－ 2 2 ) ＋ λ (4 ， 4 2 ) ＝ (4 λ ＋ 1 ， 4 2 λ － 2 2 ) ， 又 y23＝ 8 x3， 所以 [2 2 (2 λ － 1) ]2＝ 8 (4 λ ＋ 1) ， 即 (2 λ － 1)2＝ 4 λ ＋ 1 ， 解得 λ ＝ 0 或 λ ＝ 2. 【 名。