第3章-32-321-322常数与幂函数的导数及导数公式表

第3章-32-321-322常数与幂函数的导数及导数公式表内容摘要：

求导函数在相应点的函数值． 【自主解答】 ( 1 ) ∵ y ＝ ax， ∴ y ′ ＝ ( ax) ′ ＝ ax l n a ， 则 y ′ | x ＝ 3 ＝ a3 l n a . ( 2 ) ∵ y ＝ l n x ， ∴ y ′ ＝ ( l n x ) ′ ＝1x，则 y ′ | x ＝ 5 ＝15. 求函数在某定点 ( 点在函数曲线上 ) 的导数的方法步骤是： ( 1 ) 先求函数的导函数； ( 2 ) 把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值． 本例中 ( 2 ) 的 P 点处的切线方程如何求解。 【解】 ∵ y ′ | x ＝ 5 ＝15， ∴ 切线方程为： y － l n 5 ＝15( x － 5) ， 即 x － 5 y － 5 ＋ 5 l n 5 ＝ 0. 导数的应用 若曲线 y ＝ x －12 在点 ( a ， a －12 ) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 18 ，求 a 的值． 【 思 路 探 究 】 先求切线方程 → 求切线的横纵截距→ 利用面积公式列方程求 a 【自主解答】 y ′ ＝－12x －32( x 0 ) ，故在点 ( a ， a －12) 处的切线的斜率 k ＝－12a －32， 所以切线方程为 y － a －12＝－12a －32( x － a ) ， 易得切线在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 3 a ，32a －12， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S ＝12 3 a 32a －12＝94a12＝ 1 8 . ∴ a ＝ 6 4 . 切线方程、截距、面积的计算是对导数的几何意义、运算的综合运用，看清切点位置的同时构造方程是解题的关键． 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x ) ＝ 2 f (2 － x ) － x 2 ＋ 8 x － 8 ，求曲线 y＝ f ( x ) 在点 (2 ， f ( 2 ) ) 处的切线方程． 【解】 由 f ( x ) ＝ 2 f (2 － x ) － x2＋ 8 x － 8 ，令 x ＝ 2 － x ，得 f ( 2 －x ) ＝ 2 f ( x ) － (2 － x )2＋ 8 ( 2 － x ) － 8 ， 即 2 f ( x ) － f (2 － x ) ＝ x2＋ 4 x － 4 ， 联立 f ( x ) ＝ 2 f (2 － x ) － x2＋ 8 x － 8 ，得 f ( x ) ＝ x2， ∴ f ′ ( x ) ＝ 2 x ， f ′ ( 2 ) ＝ 4 ，即所求切线斜率为 4 ， ∴ 切线方程为 y － 4 ＝ 4( x － 2) ， 即 4 x － y － 4 ＝ 0 . 因求导公式不熟而出错 给出下列结论： ① ( c o s。