北师大版高中数学必修531不等关系之一

北师大版高中数学必修531不等关系之一内容摘要：

＋ 1 ＝ ( x ＋2 m － 12)2＋ m2＋ m ＋34 ＝ ( x ＋2 m － 12)2＋ ( m ＋12)2＋12 0. ∴ x2－ x ＋ 1 － 2 m2－ 2 mx . • [例 3] 比较 aabb与 abba(a、 b为不相等的正数 )的大小． 解析： 作商得aabbabba ＝ aa － bbb － a＝ (ab)a － b. 当 a b 0 时，ab1 ， a － b 0 ，所以 (ab)a － b1 ； 当 0 a b 时，ab1 ， a － b 0 ，所以 (ab)a － b 1. 综上有 aabb abba. • [变式训练 3] 若 m0，比较 mm与 2m的大小． 解析： 注意到 mm 0,2m0 ，为了比较 mm与 2m的大小，采用作商法．当 m ＝ 2 时，mm2m ＝ (m2)m＝ (22)2＝ 1 ，此时， mm＝2m； 当 0 m 2 时， (m2)m1 ，此时 mm2m；当 m 2 时， (m2)m1 ，此时 mm2m. • [例 4] 已知 a0，试比较 a与 的大小． 解析： ∵ a －1a＝a2－ 1a＝ a － 1  a ＋ 1 a， ∵ a 0 ， ∴ 当 a 1 时， a － 1  a ＋ 1 a0 ，有 a 1a； 当 a ＝ 1 时， a － 1  a ＋ 1 a＝ 0 ，有 a ＝1a； 当 0 a 1 时， a － 1  a ＋ 1 a0 ，有 a 1a. 综上知：当 a 1 时， a 1a； 当 a ＝ 1 时， a ＝1a； 当 0 a 1 时， a 1a. • [变式训练 4] 已知 a， b均为正数， n∈ N*，比较 (a＋ b)(an＋ bn)与 2(an＋ 1＋ bn＋ 1)的大小． • 解析： (a＋ b)(an＋ bn)－ 2(an＋ 1＋ bn＋ 1) • ＝ an＋ 1＋ abn＋ anb＋ bn＋ 1－ 2an＋ 1－ 2bn＋ 1 • ＝ abn＋ anb－ an＋ 1－ bn＋ 1 • ＝ a(bn－ an)＋ b(an－ bn) • ＝ (a－ b)(bn－ an)， • ∵ a、 b∈ R＋ ， n∈ N*，且 n≥1， • ∴ ① 当 ab0时， a－ b0， bnan. • ∴ (a－ b)(bn－ an)0. • ② 当 ba0时， a－ b0， bnan. • ∴ (a－ b)(bn－ an)0. • ③ 当 a＝ b0时， a－ b＝ 0. • 所以 (a－ b)(bn－ an)＝ 0. • 综上所述， (a＋ b)(an＋ bn)－ 2(an＋ 1＋ bn＋1)≤0. • 即 (a＋ b)(an＋ bn)≤2(an＋ 1＋ bn－ 1)． • [例 5] (一题多解 )求证： ⇒ab. • 分析： 本题可以用比较法证明；也可以用不等式性质得到证。