北师大版高中数学必修514数列在日常经济生活中的应用之三

北师大版高中数学必修514数列在日常经济生活中的应用之三内容摘要：

≤n≤20)．所以 {an}组成以 60为首项，－ ，所以，总数＝ S20＋ 150＝ 20a1＋ d＋ 150＝ 1255(元 )， ∴ 第十个月该交 ，全部付清实际花 1255元． • 评析： 审题，建立等差数列模型，应用等差数列的通项公式及前 n项和公式求解，但需注意最后一次付款利息是 50元欠款的利息，第一次付款利息是 1000元的利息而不是 950元，此处易出错． • 解决数列在实际应用中的问题关键是通过仔细审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求 n，还是求 an，或是求 Sn. • [例 2] 陈老师购买工程集资房 92 m2，单价为 1000元 /m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴 14400元，余款由个人负担．房地产开发公司对教师实行分期付款 (注 ① )，经过一年付款一次， „„ 共付10次， 10年后付清，如果按年利率 %，每年按复利计算 (注 ② )，那么每年应付款多少元。 (注 ③ )． • 注： ① 分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和． • ② 每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息． • ③ 必要时参考下列数据 . • ≈,≈,≈. • 解析： 设每年应付款 x元，那么到最后一次付款时 (即购房十年后 )，第一年付款及所生利息之和为 x ，第二年付款及所生利息之和为 x ， „ ，第九年付款及其所生利息之和为 x ，第十年付款为 x元，而所购房余款的现价及其利息之和为 [1000 92－ (28800＋ 14400)] ＝48800 (元 )．因此有 x(1＋ ＋＋ „ ＋ )＝ 48800 (元 )，所以 x＝ 48800 ≈48800 ≈7141(元 )． • ∴ 每年需交款 7141元． • [变式训练 2] 为了迎接 2020年北京奥运会，我国决定治理垃圾．经调查，近 10年来我国城市垃圾的年平均增长率为 3%，到 2020年底堆存垃圾已达 60亿吨，侵占了约 5亿平方米的土地，目前我国还以年产 1亿吨的速度产生新的垃圾，垃圾治理已刻不容缓。 • (1)问 1991年我国城市垃圾约有多少亿吨。 • (2)如果从 2020年起，每年处理上年堆存垃圾的 ，到 2020年底，我国城市垃圾约有多少亿吨。 可节约土地多少亿平方米。 解析： ( 1) 设 10 年前我国城市垃圾约有 a 亿吨，则有 a ＋ a (1 ＋ 3% ) ＋ a (1 ＋ 3% )2＋ „ ＋ a (1 ＋ 3% )9＝ 60 ， ∴ a 1 － 101 － ＝ 60 ， ∴ a ＝60 10－ 1≈ ( 亿吨 ) ． ( 2) 2020 年底有垃圾 60 910＋ 1 亿吨； 2020 年底有垃圾 ( 60 910＋ 1) 910＋ 1 ＝ 60 92102 ＋910＋ 1 ； 2020 年底有垃圾 ( 60 92102 ＋910＋ 1) 910＋ 1 ＝ 60 93103＋92102 ＋910＋ 1 ； „„ 2020 年底有垃圾 60 (910)6＋ (910)5＋ (910)4＋ „ ＋ 1 ＝60 (910)6＋1 － 61 － ≈ ( 亿吨 ) ． 可节约土地 560≈ 2( 亿平方米 ) ． • 数列的递推应用问题往往是以一定的实际问题作为背景进行命题的，该问题来源于生产实践，解题时先将实际生活模型用数学公式或等量关系式列出，然后得出数列的递推关系式．适当的时候也可以利用特殊化思想方法先求得前几项，应用不完全归纳法得出通项后再进行进一步的论证．其最终目的是把应用问题转化为 an与an＋ 1之间的关系，或 an与 Sn间的关系，然后利用所学知识加以解决． • [例 3] 某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为 a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d(d0)，因此，历年所交纳的储备金数目 a1， a2， „ 是一个公差为 d的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第 n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a1(1＋ r)n－ 1，第二年所交纳的储备金就变为 a2(1＋ r)n－ 2， „ .以 Tn表示到第 n年末所累计的储备金总额． • (1)写出 Tn与 Tn－ 1(n≥2)的递推关系式； • (2)求证： Tn＝ An＋ Bn，其中 {An}是一个等比数列， {Bn}是一个等差数列． • 解析： (1)由题意有， Tn＝ Tn－ 1(1＋ r)＋an(n≥2)． • (2)T1＝ a1，对 n≥2反复使用上述关系式，得 • Tn＝ Tn－ 1(1＋ r)＋ an＝ Tn－ 2(1＋ r)2＋ an－ 1(1＋ r)＋ an＝ „ ＝ a1(1＋ r)n－ 1＋ a2(1＋ r)n－ 2＋ „ ＋ an－ 1(1＋ r)＋ an.① • 在 ① 式两端同乘 1＋ r，得 (1＋ r)Tn＝ a1(1＋r)n＋ a2(1＋ r)n－ 1＋ „ ＋ an－ 1(1＋ r)2＋ an(1＋r)， ② ② － ① ，得 rTn＝ a。