北师大版选修2-2高考数学52复数的四则运算

北师大版选修2-2高考数学52复数的四则运算内容摘要：

1 𝑧2= 𝑧1− 𝑧2。 ⑥ 𝑧1𝑧2= 𝑧1 𝑧2。 ⑦ 𝑧1𝑧2 =𝑧1𝑧2( z2≠ 0 )。 ⑧ z= 𝑧 ⇔ z ∈ R , 𝑧 = z ( z ≠ 0) ⇔ z 为纯虚数 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 典例提升 2 已知 z 是虚数 , m= z+1𝑧是实数 , 求 |z| 的值 . 思路分析 :由 z 为虚数 ,知 z 的虚部不为 0 .根据 m 为实数建立等式可求 | z| .或 z ∈ R ⇔ z= 𝑧 进行转化 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解 :方法一 :因为 z 是虚数 ,设 z = a + b i( a , b ∈ R ,且 b ≠ 0 ) , m= z +1𝑧= a + b i +1𝑎 + 𝑏 i = a +𝑎𝑎2+ 𝑏2+b 1 1𝑎2+ 𝑏2 i . 因为 m ∈ R ,所以 b 1 1𝑎2+ 𝑏2 = 0 . 又因为 b ≠ 0, 所以 1 1𝑎2+ 𝑏2= 0, 即 a2+b2= 1, 则 |z|= 1 . 方法二 : m 是实数 , ∴ m= 𝑚 , 即 z+1𝑧= 𝑧 +1𝑧⇔ ( z 𝑧 ) 1 1𝑧 𝑧 = 0 . ∵ z 为虚数 , ∴ z 𝑧 ≠ 0 . ∴ 1 1𝑧 𝑧= 0 .∴ z 𝑧 = 1, 即 |z|2= 1, ∴ |z|= 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 点评 利用化归思想 ,把复数问题表达为代数形式 ,从而建立相应的等量关系 ,求解问题 .运用共轭复数的性质 ,也是一种好方法 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 利用 in( n ∈ N + ) 的周期性解题 对于 n ∈ N+,都有 i4 n= 1 , i4 n+ 1= i, i4 n+ 2= 1 , i4 n+ 3= i .解题时可利用这一规律简化运算 ,对此还要明确如下几点 : ( 1 ) in( n ∈ N+) 具有周期性 ,且最小正周期是 4 . ( 2 ) n 可推广到整数集 . ( 3 ) 4 k ( k ∈ Z ) 是 in( n ∈ N+) 的周期 . 显然 in+ in+ 1+ in+ 2+ in+ 3= 0( n ∈ N+) . 因为 in( n ∈ N+) 具有周期性 ,解题时要灵活运用 ,或适当变形 ,创造条件转化为 i 的计算 .一般地 ,有 (1 177。 i)2= 177。 2 i,1 + i1 i= i,1 i1 + i= i . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 典例提升 3 计算 : ( 1 ) 2 +1i15 − 1 + i 2 22。 ( 2 ) 2 3 + i1 + 2 3 i+ 21 i 2 016. 解 : ( 1 ) 原式 = 2 +ii16 −( 1 + i )22( 2 )22= (2 + i) ( 2i )11211 = 2 + i i11= 2 + i i3 = 2 + i + i = 2 + 2i . ( 2 ) 原式 =i ( 1 + 2 3 i )1 + 2 3 i+ 21 i 2 1 008 = i + i1 008= i + i4= i + 1 = 1 + i . 点评 i 的幂的运算 ,先利用 in( n ∈ N+) 的周期性 ,将其次数降低 ,然后再进行四则运算 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究四 复数运算的综合应用 要灵活求 解复数的综合问题 ,除去要掌握复数的四则运算、模的性质、共轭复数的性质、几何意义、复数分类等知识外 ,还应掌握数学的思想方法 . 典例提升 4 设 z 是虚数 ,ω = z +1𝑧是实数 , 且 1 ω 2 . ( 1 ) 求 |z| 的值及 z 的实部的取值范围。