北师大版选修2-2高考数学311导数与函数的单调性

北师大版选修2-2高考数学311导数与函数的单调性内容摘要：

五 典例提升 2 下图是函数 f ( x ) 的导函数 f39。 ( x ) 的图像 , 则下列判断中正确的是 ( ) A . 函数 f ( x ) 在区间 ( 3 , 1 ) 上递增 B . 函数 f ( x ) 在区间 ( 1 , 3 ) 上递减 C . 函数 f ( x ) 的增区间为 ( 3 , 1 ) , ( 3 , + ∞ ) D . 函数 f ( x ) 的增区间为 ( 0 , 2 ) , ( 4 , + ∞ ) 思路分析 :根据图像看 ,导函数值大于 0 的自变量的取值范围为增区间 ,导函数值小于 0 的自变量的范围为减区间 . 解析 :根据 f39。 ( x ) 的正、负判断函数 f ( x ) 的单调性 ,在 ( 0 , 2 ) , ( 4 , + ∞ ) 上 f39。 ( x ) 0,所以 ( 0 , 2 ) , ( 4 , + ∞ ) 是函数 f ( x ) 的增区间 ,( 3 , 0 ) , ( 2 , 4 ) 是函数 f ( x ) 的减区间 . 答案 : D 点评 导函数的正负反映的是原函数的增减 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 􀎥 变式训练 2 􀎥 f39。 ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数 , y= f39。 ( x ) 的图像如图所示 , 则 y= f ( x ) 的图像最 有可能是下列选项中的 ( ) 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解析 :题目所给出的是导函数的图像 ,导函数的图像在 x 轴的上方 ,表示导函数值大于零 ,原函数的图像呈上升趋势。 导函数的图像在 x 轴的下方 ,表示导函数值小于零 ,原函数的图像呈下降趋势 . 当 x ∈ ( ∞ ,0 ) 时 ,导函数图像在 x 轴的上方 ,表示在此区间上 ,原函数的图像呈上升趋势 ,可排除 B,D 两选项 . 当 x ∈ ( 0 ,1 ) 时 ,图像在 x 轴的下方 ,表示在此区间上 ,原函数的图像呈下降趋势 ,可排除 A 选项 .故选 C . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究三 根据函数单调性求参问题 根据函数单调性求参数范围 ,主要是将函数的单调性转化 为与导数有关的不等式恒成立问题 ,根据不等式的特征 ,求参数的取值范围 .常见方法是 :若函数 y= f ( x ) 在 ( a , b ) 上是增加的 ,则 f39。 ( x ) ≥ 0 在 ( a , b ) 上恒成立。 若 y= f ( x ) 在 ( a , b )上是减少的 ,则 f39。 ( x ) ≤ 0 在 ( a , b ) 上恒成立 . 典例提升 3 若函数 f ( x ) =13x312ax2+ ( a 1) x+ 1 在区间 ( 1 , 4 ) 上是减少的 , 在区间 ( 6 , + ∞ )上是增加的 , 试求实数 a 的取值范围 . 思路分析 :本题考查利用函数的导数研究函数单调性的方法 .由 f ( x ) 在( 1 , 4 ) 上是减少的 ,在区间 ( 6 , + ∞ ) 上是 增加的 ,知 f39。 ( x ) ≤ 0 在 ( 1 , 4 ) 上恒成立 , f39。 ( x ) ≥ 0 在 ( 6 , + ∞ ) 上恒成立 ,因此 ,可利用二次函数的性质及二次不等式的解集求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 解 :方法一 : ∵ f39。 ( x ) =x2 a x+ a 1, 令 f39。 ( x ) = 0, 解得 x= 1 或 x= a 1 . 当 a 1 ≤ 1, 即 a ≤ 2 时 ,函数 f ( x ) 在 ( 1 , + ∞ ) 上是增加的 ,不符合题意 . 当 a 1 1, 即 a 2 时 ,函数 f ( x ) 在 ( ∞ , 1 ) 上是增加的 ,在 ( 1 , a 1) 上是减少的 ,在 ( a 1, + ∞ ) 上是增加的 . 依题意知 ,函数 f ( x ) 在 ( 1 , 4 ) 上是减少的 ,在 ( 6 , + ∞ )。