北师大版选修2-2高考数学32导数在实际问题中的应用

北师大版选修2-2高考数学32导数在实际问题中的应用内容摘要：

某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层 , 每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元 .该建筑物每年的能源消耗费用 C ( 单位 : 万元 ) 与隔热层厚度x ( 单位 :c m ) 满足关系 : C ( x ) =𝑘3 𝑥 + 5(0 ≤ x ≤ 1 0 ) , 若不建隔热层 , 每年能源消耗费用为 8 万元 .设 f ( x ) 为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和 . ( 1 ) 求 k 的值及 f ( x ) 的表达式。 ( 2 ) 隔热层修建多厚时 , 总费用 f ( x ) 达到最小 , 并求最小值 . 思路分析 : 根据题设条件构造函数关系 ,再 应用导数求最值 . 探究一 探究二 探究三 解 : ( 1 ) 设隔热层厚度为 x cm ,由题设 ,每年能源消耗费用为 C ( x ) =𝑘3 𝑥 + 5, 又 C ( 0 ) = 8, ∴ k= 40, 因此 C ( x ) =403 𝑥 + 5,而建造费用 C1( x ) = 6 x ,从而隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f ( x ) = 20 C ( x ) +C1( x ) = 20 403 𝑥 + 5+ 6 x=8003 𝑥 + 5+ 6 x (0 ≤ x ≤ 10) ( 2 ) f39。 ( x ) = 6 2 400( 3 𝑥 + 5 )2,令 f39。 ( x ) = 0, 即2 400( 3 𝑥 + 5 )2= 6, 解得 x1= 5, x2= 253( 舍去 ), 当 0 x 5 时 , f39。 ( x ) 0, 当 5 x 10 时 , f39。 ( x ) 0, 故 x= 5是 f ( x ) 的最小值点 ,对应的最小值为 f ( 5 ) = 6 5 +80015 + 5= 70, 即当隔热层修建 5 cm 厚时 ,总费用达到最小值 70 万元 . 探究一 探究二 探究三 􀎥 变式训练 2 􀎥 如图所示 , 用宽为 a 、长为 b 的三块矩形木板 , 做成一个横截面为等腰梯形的水槽 , 试问当倾斜角 θ 多大时 , 可使得水槽的流量最大 ? 探究一 探究二 探究三 解 :设水槽横截面面积为 S ,则 S=12( A B + E D ) CD . 由于 A B = a + 2 a co s θ , C D= a s in θ , 则 S=12[( a+ 2 a co s θ ) +a ] a s in θ =a2s in θ (1 + co s θ ) 0 𝜃 π2 . 所以 S 39。 =a2( 2 c o s2θ + co s θ 1) . 令 S 39。 = 0, 得 co s θ =12或 co s θ = 1 . 由于 0 θ π2,所以 co s θ ≠ 1 . 所以 co s θ =12.此时 θ =π3. 因为当 0 θ π3时 , S 39。 0。 当π3 θ π2时 , S 39。 0, 所以 θ =π3时 , S 取得极大值 ,也是最大值 . 所以当 θ =π3时 ,横截面面积最大 ,此时水槽的流量最大 . 探究一 探究二 探究三 探究三 易错辨析 易错点 : 忽视实际问题的定义域致误 典例提升 3 某厂生产一种机器 , 其固定成本 ( 即固定投入 ) 为 0 . 5 万元。