北师大版选修2-2高考数学14数学归纳法

北师大版选修2-2高考数学14数学归纳法内容摘要：

2 𝑘+12 𝑘 + 1+12 𝑘 + 2−1𝑘 + 1 = 1𝑘 + 1+1𝑘 + 2+ „ +12 𝑘 +12 𝑘 + 1−12 𝑘 + 21324+1( 2 𝑘 + 1 )( 2 𝑘 + 2 )1324. ∴ 当 n = k+ 1 时 ,不等式成立 . 由 ( 1 ) ( 2 ) 知 ,当 n ∈ N+, n ≥ 2 时不等式成立 . 探究一 探究二 探究三 探究四 点评 应用数学归纳法证题时 ,关键是利用归纳假设证明当 n = k+ 1 时的步骤 ,要证好这一步 ,须明确以下两点 :一是要证明的结论 ,二是当 n = k+ 1 时命题与归纳假设的区别 ( 即当 n = k+ 1 时比当 n = k 时增加了哪些项 ) .明确了这两点也就明确了这一步的证明方向 . 􀎥 变式训练 2 􀎥 已知 n 2( n ∈ N+), 求证 :1 +1 2+1 3+ „ +1 𝑛 𝑛 + 1 . 证明 : ( 1 ) 当 n= 3 时 ,左边 = 1 +1 2+1 3,右边 = 3 + 1 = 2, 左边 右边 ,不等式成立 . ( 2 ) 假设当 n = k ( k ∈ N+,且 k ≥ 3) 时 ,不等式成立 , 即 1 +1 2+1 3+ … +1 𝑘 𝑘 + 1 . 那么当 n = k+ 1 时 ,1 +1 2+1 3+ … +1 𝑘+1 𝑘 + 1 𝑘 + 1 +1 𝑘 + 1=𝑘 + 1 + 1 𝑘 + 1=𝑘 + 2 𝑘 + 1. 因为𝑘 + 2 𝑘 + 1𝑘 + 2 𝑘 + 2= 𝑘 + 2 = ( 𝑘 + 1 ) + 1 , 所以 1 +1 2+1 3+ … +1 𝑘+1 𝑘 + 1 ( 𝑘 + 1 ) + 1 , 所以当 n = k+ 1 时 ,不等式成立 . 故由 ( 1 ) ( 2 ) 知 ,对一切 n 2( n ∈ N+), 不等式成立 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究一 探究二 探究三 探究四 探究三 用数学归纳法证明几何与整除问题 1 .使用数学归纳法证明与正整数 n 有关的几何问题时 ,关键是找出 n = k到 n = k+ 1 时的逆推关系 ,一般方法是分析增加一条与问题有关的曲线或直线后 ,点、线段、曲线段等在 n = k 的基础上的变化情况 ,寻找递推关系 . 2 .使用数学归纳法证明整除性问题的常用方法是将 n = k+ 1 时的式子分成两部分 ,一部分应用归纳假设 ,另一部分经过变形处理 ,确定其能被某数整除 ,而变形的技巧是加减同一项以便提 取公因式 . 探究一 探究二 探究三 探究四 典例提升 3 根据平面上三角形、四边形、五边形内角和 探究平 面上凸n ( n ≥ 3, n ∈ N + ) 边形的内角和 , 并证明你的结论 . 思路分析 :本题考查利用数学归纳法证明平面几何问题的方法 .求解时先根据三角形内角和为 π ,四边形内角和为 2 π ,五边形内角和为 3 π ,归纳出凸n ( n ≥ 3, 且 n ∈ N + ) 边形内角和为 ( n 2) π 后 ,再用数学归纳法证明即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 证明 :由三角形内角和为 π ,四边形内角和为 2 π ,五边形内角和为 3 π ,猜测凸 n ( n ≥ 3, 且 n ∈ N+) 边形内角和为 ( n 2) π . 下面用数学归纳法 证明 : 记 f ( n ) = ( n 2) π , ( 1 ) 当 n= 3 时 ,三角形内角和 f ( 3 ) = π ,而 (3 2) π = π ,即命题成立 . ( 2 ) 假设 n = k ( k ≥ 3 且 n ∈ N+) 时 ,命题成立 ,即 f ( k ) = ( k 2) π . 当 n = k+ 1 时 ,即多一个顶点时 ,凸 n 边形内角和多 π , f ( k+ 1) =f ( k ) + π = ( k 2) π + π = ( k 1) π = [( k+ 1) 2] π . 即当 n = k+ 1 时 ,命题也成立 . 由 ( 1 ) ( 2 ) 知 ,对于 n ≥ 3( n ∈ N+) 时 ,命题成立 . 故凸 n ( n ≥ 3, 且 n ∈ N+) 边形的内角和为 ( n 2) π . 探究一 探究二 探究三 探究四 点评。