北师大版选修2-2高考数学12综合法与分析法

北师大版选修2-2高考数学12综合法与分析法内容摘要：

b2成立 , 只需证 ( a + b )( a2 a b + b2) ( a + b ) ab 成立 . 又 a 0, b 0, ∴ a + b 0, 只需证 a2 a b + b2 a b 成立 , 即证 a2 2 a b + b2 0 成立 ,也就是 要证 ( a b )2 0 成立 , 而由已知条件可知 a ≠ b ,于是有 a b ≠ 0, ∴ ( a b )2 0 显然成立 ,由此命题得证 . 点评 证明不等式时 ,对于不等式的变形应严格按不等式的性质进行 . 探究一 探究二 探究三 􀎥 变式训练 2 􀎥 已知 a b c , 求证 :1𝑎 𝑏+1𝑏 𝑐+4𝑐 𝑎≥ 0 . 证明 :由 a b c 得 a b 0, b c 0, a c 0, 要证原不等式成立 ,只需证明1𝑎 𝑏+1𝑏 𝑐≥4𝑎 𝑐即可 ,左边通分得( 𝑏 𝑐 ) + ( 𝑎 𝑏 )( 𝑎 𝑏 )( 𝑏 𝑐 )≥4𝑎 𝑐,即证𝑎 𝑐( 𝑎 𝑏 )( 𝑏 𝑐 )≥4𝑎 𝑐. 只需证明 ( a c )2≥ 4( a b )( b c ) 成立 , 由于 a c= ( a b ) + ( b c ), 因此 ,该不等式显然成立 . 探究一 探究二 探究三 典例提升 3 如图 , SA ⊥ 平面 ABC , AB ⊥ BC , 过点 A 作 SB 的垂线 , 垂足为 E , 过 E 作 SC的垂线 , 垂足为 F. 求证 : AF ⊥ S C . 思路分析 :本例所给的已知条件中 ,垂直关系较多 ,我们不容易确定如何在证明中使用它们 ,因而用综合法比较困难 .这时 ,可以从结论出发 ,逐步反推 ,寻求使要证结论成立的充分条件 . 探究一 探究二 探究三 证明 :要证 AF ⊥ SC , 只需证 SC ⊥ 平面 AEF , 只需证 AE ⊥ SC ( 因为 EF ⊥ SC ), 只需证 AE ⊥ 平面 S B C , 只需证 AE ⊥ BC ( 因为 AE ⊥ SB ), 只需证 BC ⊥ 平面 S A B , 只需证 BC ⊥ SA ( 因为 AB ⊥ BC ) . 由 SA ⊥ 平面 ABC 可知 , BC ⊥ S A . 所以 AF ⊥ S C . 探究一 探究二 探究三 点评 在分析法证明中 ,从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件 ,最后一步归结到已被证明了的事实 .因此 ,从最后一步可以倒推回去 ,直到结论 ,但这个倒推过程可以省略 . 探究一 探究二 探究三 􀎥 变式训练 3 􀎥 如图所示 , 在四面体 P A B C 中 , PA , PB , PC 两两垂直 ,且 PH ⊥ 底面 A B C 于 H. 求证 : H 是 △ ABC 的垂心 . 探究一 探究二 探究三 证明 :要证 H 是 △ ABC 的垂心 , 只需证 BC ⊥ AH ,且 AC ⊥ HB , 只需证 BC ⊥ 平面 P HA ,且 AC ⊥ 平面 P HB , 只需证 BC ⊥ PH ,且 BC ⊥ PA , AC ⊥ PH ,且 AC ⊥ PB. 因为 PH ⊥ 底面 ABC ,所以 PH ⊥ BC , PH ⊥ AC 成立 . 故只需证 BC ⊥ PA ,且 AC ⊥ PB 即可 . 探究一 探究二 探究三 只需证 PA ⊥ 平面 PBC , PB ⊥ 平面 PAC ,。