人教b版高中数学选修2-2第1章14第2课时微积分基本定理

人教b版高中数学选修2-2第1章14第2课时微积分基本定理内容摘要：

单调性等混合在一起进行考查，解决时重点是要分清各变量之间的关系． 若0T x 2 d x ＝ 9 ，则常数 T 的值为 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] 3 [ 解析 ] 0T x 2 d x ＝ 13x 3 | T0 ＝13T 3 ＝ 9 ， ∴ T 3 ＝ 27 ， ∴ T ＝ 3. 课堂典例探究 求定积分 求下列定积分： ( 1 )12( x2＋ 2 x ＋ 1 ) d x ； ( 2 )0π( si n x － c o s x )d x ； ( 3 )12x － x2＋1xd x ； ( 4 )－ π0( c o s x ＋ ex)d x . [ 分析 ] 求定积分关键是找被积函数的一个原函数，再利用公式计算． [ 解析 ] ( 1 )12( x2＋ 2 x ＋ 1 ) d x ＝12x2d x ＋122 x d x ＋121d x ＝x33 21 ＋ x2 21 ＋ x  21 ＝193. ( 2 )0π( si n x － c o s x )d x ＝0πsi n x d x －0πc o s x d x ＝ ( － c o s x ) π0 － s i n x  π0 ＝ 2. ( 3 )12x － x2＋1xd x ＝12x d x －12x2d x ＋121xd x ＝x22 21 －x33 21 ＋ ln x  21 ＝32－73＋ l n 2 ＝ l n 2 －56. ( 4 )－ π0( co s x ＋ e x )d x ＝－ π0co s x d x ＋－ π0e x d x ＝ s i n x  0－ π ＋ ex 0－ π ＝ 1 －1e π. [ 方法总结 ] 求解 f ( x ) 在区间 [ a ， b ] 上的定积分，要正确利用定积分的性质，把被积函数分解成简单基本初等函数的导函数的形式，再利用微积分基本定理求解．在比较熟练的情况下，也可根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，直接找出原函数． 计算 下列定积分： ( 1 )01 x 2 d x ； ( 2 )01 (2 x ＋ 1 ) d x ； ( 3 )122 x ＋1x d x . [ 解析 ] ( 1 ) 取 F ( x ) ＝13x3， ∵13x3′ ＝ x2， ∴01x2d x ＝ F ( 1 ) － F ( 0 ) ＝13. (2 ) 取 F ( x ) ＝ x2＋ x . ∵ ( x2＋ x ) ′ ＝ 2 x ＋ 1 ， ∴01(2 x ＋ 1 ) d x ＝ F ( 1 ) － F ( 0 ) ＝ (12＋ 1) － (02＋ 0) ＝ 2. ( 3 ) ∵ ( x2) ′ ＝ 2 x ， ( l n x ) ′ ＝1x， ∴12。