人教b版高中数学选修2-2第1章13第2课时利用导数研究函数的极值

人教b版高中数学选修2-2第1章13第2课时利用导数研究函数的极值内容摘要：

y ′ ＝ 0 ，解得 x1＝－ 2 ， x2＝ 2. 当 x 变化时， y ′ ， y 的变化情况如下表： x ( － ∞ ，－ 2) － 2 ( － 2 , 2 ) 2 (2 ，＋ ∞ ) y ′ － 0 ＋ 0 － y 极小值－ 10 极大值 22 当 x ＝－ 2 时， y 有极小值，并且 y 极小值 ＝ f ( － 2) ＝－ 10 ； 而当 x ＝ 2 时， y 有极大值，并且 y 极大值 ＝ f ( 2 ) ＝ 2 2 . [ 方法总结 ] 判断一个函数是否有极值，不能只求解 y ′＝ 0 ，根据函数极值的定义，函数在某点处存在极值，则应在该点的左右邻域是单调的，并且单 调性应相反． 求函数 f(x)＝ x3－ 3x2－ 9x＋ 5的极值 ． [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 6 x － 9 ＝ 3( x2－ 2 x － 3) ． 解方程 x2－ 2 x － 3 ＝ 0 ，得 x1＝－ 1 ， x2＝ 3. 当 x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表： x ( － ∞ ，－ 1) － 1 ( － 1 , 3 ) 3 (3 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 极大值 极小值 因此，当 x ＝－ 1 时， f ( x ) 有极大值，且 f ( － 1) ＝ 10 ； 当 x ＝ 3 时， f ( x ) 有极小值，且 f ( 3 ) ＝－ 2 2 . 含参数的极值问题 已知 f ( x ) ＝ ax 5 － bx 3 ＋ c 在 x ＝ 177。 1 处的极大值为 4 ，极小值为 0 ，试确定 a 、 b 、 c 的值． [ 分析 ] 本题的关键是理解 “ f ( x ) 在 x ＝ 177。 1 处的极大值为 4 ，极小值为 0 ” 的含义．即 x ＝ 177。 1 是方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的两个根且在根x ＝ 177。 1 处 f ′ ( x ) 的取值左右异号． [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 5 ax 4 － 3 bx 2 ＝ x 2 (5 ax 2 － 3 b ) ． 由题意， f ′ ( x ) ＝ 0 应有根 x ＝ 177。 1 ，故 5 a ＝ 3 b ， 于是 f ′ ( x ) ＝ 5 ax 2 ( x 2 － 1) ( 1 ) 当 a ＞ 0 时， x ( － ∞ ，－ 1) － 1 ( － 1, 0) 0 ( 0,1 ) 1 (1 ，＋ ∞ ) y ′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋ y 极大值 无极值 极小值 由表可见： 4 ＝ f  － 1  ＝－ a ＋ b ＋ c0 ＝ f  1  ＝ a － b ＋ c， 又 5 a ＝ 3 b ，解之得： a ＝ 3 ， b ＝ 5 ， c ＝ 2. ( 2 ) 当 a ＜ 0 时，同理可得 a ＝－ 3 ， b ＝－ 5 ， c ＝ 2. [ 方法总结 ] 紧扣 导数与极值的关系对题目语言进行恰当合理的翻译、转化是解决这类问题的关键． 已知函数 f(x)＝ x3＋ ax2＋ bx＋ c， 当 x＝－ 1时 ， 取得极大值7；当 x＝ 3时 ， 取得极小值 ， 求这个极小值及 a， b， c的值 ． [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax ＋ b . 据题意，－ 1 , 3 是方程 3 x2＋ 2 ax ＋ b ＝ 0 的两个根， 由韦达定理得 － 1 ＋ 3 ＝－2 a3 － 1  3 ＝b3， ∴ a ＝－ 3 ， b ＝－ 9. ∴ f ( x ) ＝ x3－ 3 x2－ 9 x ＋ c . ∵ f ( － 1) ＝ 7 ， ∴ c ＝ 2 ， 极小值 f ( 3 ) ＝ 33－ 3 32－ 9 3 ＋ 2 ＝－ 2 5 . ∴ 极小值为－ 25 ， a ＝－ 3 ， b ＝－ 9 ， c ＝ 2. 函数的最大值与最小值 求函数 f ( x ) ＝ x 3 － 2 x 2 ＋ 1 在区间 [ － 1 ,2 ] 上的最大值与最小值． [ 分析 ] 首先求 f ( x ) 在 ( － 1 , 2 ) 内的极值，然后将 f ( x ) 的各极值与 f ( － 1) ， f ( 2 ) 比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值． [ 解析 ] f ′ ( x ) ＝ 3 x2－ 4 x . 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，有 3 x2－ 4 x ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 ，43. 当 x 变化时， f ′ ( x ) 、 f ( x ) 的变化情况如下表： x － 1 ( － 1 , 0 ) 0 0 ，43 43 。