人教b版高中数学选修2-2第1章11第2课时瞬时变化率与导数

人教b版高中数学选修2-2第1章11第2课时瞬时变化率与导数内容摘要：

处的导数的步骤： ( 1 ) 求函数值的增量 Δ y ＝ f ( x0＋ Δ x ) － f ( x0) ； ( 2 ) 求平均变化率Δ yΔ x＝f  x0＋ Δ x  － f  x0Δ x； ( 3 ) 取极限，得导数 f′ ( x0) ＝ l i mΔ x → 0 Δ yΔ x( 或当 Δ x → 0 时，Δ yΔ x→ f ′ ( x0)) ．上述 求导方法可简记为：一差、二化、三极限． 已知函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ，求 y ′ 及 y ′ | x ＝ 2 . [ 解析 ] ∵ Δ y ＝ a ( x ＋ Δ x )2＋ b ( x ＋ Δ x ) ＋ c － ( ax2＋ bx ＋ c ) ＝2 ax Δ x ＋ a (Δ x )2＋ b Δ x ， ∴Δ yΔ x＝2 ax Δ x ＋ a  Δ x 2＋ b Δ xΔ x＝ 2 ax ＋ b ＋a Δ x ， y ′ ＝ l i mΔ x → 0 Δ yΔ x＝ l i mΔ x → 0 ( 2 ax ＋ b ＋ a Δ x ) ＝ 2 ax ＋ b ， y ′ |x ＝ 2＝ 4 a＋ b . 课堂典例探究 求物体运动的瞬时速度 子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动，如果它的加速度是 a ＝ 5 105m / s2，子弹从枪口射出的所用的时间为 t 0 ＝ 1 . 6 10－ 3s. 求子弹射出枪口时的瞬 时速度． [ 分析 ] 解决此题的关键是写出运动方程，求出物体的平均速度Δ sΔ t ，然后取极限． [ 解析 ] 运动方程为 s ＝12at2. ∵ Δ s ＝12a ( t0＋ Δ t )2－12at20＝ at0Δ t＋12a (Δ t )2， ∴Δ sΔ t＝ at0＋12a Δ t . ∴ l i mΔ t → 0 Δ sΔ t＝ at0. 由题意知 a ＝ 5 105m / s2， t0＝ 1 . 6 10－ 3s ， 故 at0＝ 8 102＝ 8 0 0 ( m/ s) ， 即子弹射出枪口时的瞬时速度为 8 0 0 m/ s . [ 方法总结 ] 求物体运动的瞬时速度的步骤． ( 1 ) 由物体运动的位移 s 与时间 t 的函数关系式求出位移增量Δ s ＝ s ( t0＋ Δ t ) － s ( t0) ． ( 2 ) 求时间 t0到 t0＋ Δ t 之间的平均速度 v－＝Δ sΔ t. ( 3 ) 求 l i mΔ x → 0 Δ sΔ t的值，即得 t＝ t0时的瞬时速度． 以初速度 v 0 ( v 0 ＞ 0) 垂直上抛的物体， t 秒时的高度为 s ( t ) ＝v 0 t －12 gt2 ，求物体在时刻 t0 ＝ 1 时的瞬时速度． [ 解析 ] ∵ Δ s ＝v 0  t 0 ＋ Δ t  －12g  t 0 ＋ Δ t 2－v 0 t 0 －12gt20 ＝ ( v 0－ gt 0 )Δ t －12g (Δ t )2， ∴Δ sΔ t＝ v 0 － gt 0 －12g Δ t， 当 Δ t → 0 时，Δ sΔ t→ v 0－ gt 0。