高中数学苏教版选修2-3第1章计数原理1-2-2

高中数学苏教版选修2-3第1章计数原理1-2-2内容摘要：

法二 先把甲、乙以外的 4 个人作全排列，有 A44种站法，再在 5 个空档中选出一个供甲、乙放入，有 A15种方法，最后让甲、乙全排列，有 A22种方法，共有 A44A15A22＝ 240( 种 ) ． ( 3) 法一 因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用 “ 插空法 ” ，第一步先让甲、乙以外的 4 个人站队，有 A44种；第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档 ( 含两端 ) 中，有 A25种，故共有 站法为 A44A25＝ 480( 种 ) ． (5) 法一 首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有 A22种，再让其他 4 人在中间位置作全排列，有 A44种，根据分步乘法计数原理，共有 A22A44＝ 48( 种 ) 站法． 法二 首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有 A22种站法，然后考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 人去站，有 A44种站法，由分步乘法计数原理共有 A22A44＝ 48( 种 ) 站法． (6) 法一 甲在左端的站法有 A55种，乙在右端的站法有 A55种，且甲在左端而乙在右端的站法有 A44种，共有 A66－ 2A55＋ A44＝ 504( 种 ) 站法． 法二 以元素甲分类可分为两类： ① 甲站右端有 A55种， ② 甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端有 A14A14A44种，故共有 A55＋A14A14A44＝ 504( 种 ) 站法． 规律方法 排列问题本质就是 “ 元素 ” 占 “ 位子 ” 问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素 “ 排 ” 或 “ 不排 ”在哪个位子上，某些元素 “ 相邻 ” 或 “ 不相邻 ” ． 对于这类问题在分析时，主要按 “ 优先 ” 原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子，如本题 (1)中的法一、法二．对于 “ 相邻 ” 问题可用“ 捆绑法 ” ，对 “ 不相邻 ” 问题可用 “ 插空法 ” ，如本题 (2)与(3)．当正面求解较困难时，也可用 “ 间接法 ” ． 如本题 (3)中的法二． 【 变式 2】 有 4名男生 、 5名女生 ， 全体排成一行 ， 问下列情形各有多少种不同的排法。 (1)甲不在中间也不在两端； (2)甲 、 乙两人必须分别排在两端； (3)男 、 女生分别排在一起； (4)男女相间； (5)甲 、 乙 、 丙三人从左到右顺序保持一定 ． 解 (1) 先排甲有 6 种，其余有 A88种． 故共有 6 A88＝ 241 920( 种 ) 排 法． (2) 先排甲、乙 ， 再排其余 7 人 ， 共有 A22A77＝ 10 080( 种 ) 排法． (3) 捆绑法 A22A44A55＝ 5 760( 种 ) ． (4) 插空法 先排 4 名男生有 A44种方法，再将 5 名女生插空，有 A55种方法，故共有 A44A55＝ 2 880( 种 ) 排法． (5) 等机会 法 9 人共有 A99种排法，其中甲、乙、丙三人有 A33种排法，因而在 A99种排法中每 A3。