高中数学苏教版选修2-2第1章导数及其应用14

高中数学苏教版选修2-2第1章导数及其应用14内容摘要：

下部是边长分别为 x 、 y ( 单位： m) 的矩形，上部是等腰直角三角形； 要求框架围成的总面积 8 m2，问 x 、 y 分 别为多少 ( 精确到 m ) 时用料最省。 ( 2 ≈ ) 167。 解 依题意，有 xy ＋ 12 x x2 ＝ 8 ， 所以 y ＝8 －x 24x ＝8x －x4 ( 0 x 4 2 ) ， 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 于是框架用料长度为 l ＝ 2 x ＋ 2 y ＋ 22 x2＝ (32＋ 2 ) x ＋16x. l ′ ＝32＋ 2 －16x2 . 167。 令 l ′ ＝ 0 ，得 32 ＋ 2 － 16x 2 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 8 － 4 2 ， x 2 ＝ 4 2 － 8( 舍去 ). 当 0 x 8 － 4 2 时， l ′ 0 ； 当 8 － 4 2 x 4 2 时， l ′ 0 ， 所以当 x ＝ 8 － 4 2 时， l 取得最小值 . 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 此时， x ＝ 8 － 4 2 ≈ 2 . 3 4 4 ( m ) ， y ≈ 2 . 8 2 7 ( m ) . 167。 即当 x 为 2 . 3 4 4 m ， y 为 2 . 8 2 7 m 时，用料最省 . 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 探究点 三 利润最大问题 例 3 在经济学中，生产 x 单位产品的成本称为成本函数，记为 C ( x ) ，出售 x 单位产品的收益称为收益函数，记为 R ( x ) ，R ( x ) － C ( x ) 称为利润函数，记为 P ( x ) . ( 1) 如果 C ( x ) ＝ 10－ 6x3－ 3 x2＋ 5 x ＋ 1 000 ，那么生产多少单位产品时，边际成本 C ′ ( x ) 最低。 ( 2) 如果 C ( x ) ＝ 50 x ＋ 10 0 00 ，产品的单价 p ( x ) ＝ 1 00 － x ，那么怎样定价可使利润最大。 167。 解 ( 1 ) C ′ ( x ) ＝ 3 10 － 6 x 2 － 0 .0 0 6 x ＋ 5 ，记 g ( x ) ＝ C ′ ( x ) ，由g ′ ( x ) ＝ 6 10 － 6 x － 0 .0 0 6 ＝ 0 ， 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 解得 x ＝ 1000. 结合 C ′ ( x ) 的图象可知，当 x ＝ 1 0 0 0 时，边际成本最低 . 167。 ( 2 ) 由 p ( x ) ＝ 100 － 0 .0 1 x 得收益函数 R ( x ) ＝ x ( 1 0 0 － 0 .0 1 x ) ， 本课时栏目开关 填一填 研一研 练一练 则利润函数 P ( x ) ＝ R ( x ) － C ( x ) ＝ x ( 10 0 － 0. 01 x ) － ( 50 x ＋ 10 0 00 ) ＝－ 0. 01 x2＋ 50 x － 10 0 00 . 167。 由 P ′ ( x ) ＝－ 0. 02 x ＋ 50 ＝ 0 ，解得 x ＝ 2 50 0. 结合图可知，当 x＝ 2 50 0 时，利润最大，此。