高中数学苏教版选修2-2第1章导数及其应用133习题课

高中数学苏教版选修2-2第1章导数及其应用133习题课内容摘要：

( 2) 求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得 . ( 3) 当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为 函数的最值点 . ( 4) 利用函数单调性可以判定函数值的大小关系 . 习题课 本课时栏目开关 试一试 研一研 练一练 跟踪训练 2 设 a 为实数，函数 f ( x ) ＝ e x － 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R. ( 1) 求 f ( x ) 的单调区间与极值； ( 2) 求证：当 a ln 2 － 1 且 x 0 时， e x x 2 － 2 ax ＋ 1. 习题课 ( 1 ) 解 由 f ( x ) ＝ e x － 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R 知 f ′ ( x ) ＝ e x － 2 ， x ∈ R. 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，得 x ＝ ln 2. 于是当 x 变化时， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的变化情况如下表： x ( － ∞ ， ln 2 ) ln 2 ( ln 2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) － 0 ＋ f ( x ) 单调递减 ↘ 2( 1 － ln 2 ＋ a ) 单调递增 ↗ 本课时栏目开关 试一试 研一研 练一练 故 f ( x ) 的单调递减区间是 ( － ∞ ， ln 2 ) ，单调递增区间是 ( ln 2 ，＋ ∞ ) ， f ( x ) 在 x ＝ ln 2 处取得极小值，极小值为 f ( ln 2 ) ＝ e l n 2 －2ln 2 ＋ 2 a ＝ 2( 1 － ln 2 ＋ a ) . 习题课 ( 2 ) 证明 设 g ( x ) ＝ e x － x 2 ＋ 2 ax － 1 ， x ∈ R ， 于是 g ′ ( x ) ＝ e x － 2 x ＋ 2 a ， x ∈ R. 由 ( 1 ) 知当 a ln 2 － 1 时， g ′ ( x ) 取最小值为 g ′ ( ln 2 ) ＝ 2 ( 1 － ln 2＋ a ) 0 . 于是对任意 x ∈ R ，都有 g ′ ( x ) 0 ，所以 g ( x ) 在 R 内单调递增 . 于是当 a ln 2 － 1 时，对任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，都有 g ( x ) g ( 0 ) . 本课时栏目开关 试一试 研一研 练一练 而 g ( 0 ) ＝ 0 ，从而对任意 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) ，都有 g ( x ) 0 . 习题课 即 e x － x 2 ＋ 2 ax － 1 0 ，故 e x x 2 － 2 ax ＋ 1. 本课时栏目开关 试一试 研一研 练一练 题型 三 导数的综合应用 例 3 已知函数 f ( x ) ＝ x3－ ax － 1. ( 1) 若 f ( x ) 在实数集 R 上单调递增，求 a 的取值范围； ( 2) 是否存在实数 a ，使 f ( x ) 在 ( － 1, 1) 上单调递减，若存在，求出 a 的取值范围，若不存在，请说明理由 . 习题课 解 ( 1 ) f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － a ， 因为 f ( x ) 在 R 上是增函数，所以 f ′ ( x ) ≥ 0 在 R 上恒成立 . 即 3 x 2 － a ≥ 0 在 R 上恒成立 . 即 a ≤ 3 x 2 ，而 3 x 2 ≥ 0 ，所以 a ≤ 0. 当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝ x 3 － 1 在 R 上单调递增，符合题意 . 本课时栏目开关 试一试 研一研 练一练。