高中数学北师大版选修2-1第二章33空间向量运算的坐标表示

高中数学北师大版选修2-1第二章33空间向量运算的坐标表示内容摘要：

[例 2] 如图所示，在棱长为 a的正方体 ABCD－A1B1C1D1中，以 D为坐标原点， DA， DC， DD1分别为 x，y， z轴建立空间直角坐标系．过 B作 BM⊥ AC1于 M，求点M的坐标． [思路点拨 ] 写出 A， B， C1的坐标，设出 M的坐标，利用条件 BM⊥ AC1及 M在 AC1上建立方程组，求解． [ 精解详析 ] 法一： 设 M ( x ， y ， z ) ，由图可知： A ( a, 0,0) ，B ( a ， a, 0) ， C1(0 ， a ， a ) ，则 1AC＝ ( － a ， a ， a ) ， AM ＝ ( x － a ， y ， z ) ， BM ＝ ( x － a ， y － a ， z ) ． ∵ BM ⊥1AC， ∴ BM 1AC＝ 0 ， ∴ － a ( x － a ) ＋ a ( y － a ) ＋ az ＝ 0 ，即 x － y － z ＝ 0. ① 又 ∵1AC∥ AM ， ∴ x － a ＝－ λa ， y ＝ λa ， z ＝ λa ， 即 x ＝ a － λa ， y ＝ λa ， z ＝ λa . ② 由 ①② 得 x ＝2 a3， y ＝a3， z ＝a3. ∴ M2 a3，a3，a3. 法二 ： 设 AM ＝ λ1AC＝ ( － aλ ， aλ ， aλ ) ， ∴ BM ＝ BA ＋ AM ＝ (0 ，－ a, 0) ＋ ( － aλ ， aλ ， aλ ) ＝ ( － aλ ， aλ － a ， aλ ) ． ∵ BM ⊥ AC1， ∴ BM 1AC＝ 0 即 a2λ ＋ a2λ － a2＋ a2λ ＝ 0 ，解得 λ ＝13， ∴ AM ＝－a3，a3，a3， DM ＝ DA ＋ AM ＝2 a3，a3，a3. ∴ M 点坐标 (2 a3，a3，a3) ． [一点通 ] 用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用： (1)若 a＝ (x1， y1， z1)， b＝ (x2， y2， z2)， (b为非零向量 )，则 a∥ b⇔x1＝ λx2，且 y1＝ λy2且 z1＝ λz2(λ∈ R)．若 b＝ 0时，必有 a∥ b，必要时应对 b是否为 0进行讨论． (2)a⊥ b⇔x1x2＋ y1y2＋ z1z2＝ 0. 4．已知 a＝ (1，－ 5,6)， b＝ (0,6,5)，则 a与 b ( ) A．垂直 B．不垂直也不平行 C．平行且同向 D．平行且反向 解析： ab＝ 0－ 30＋。