高中数学北师大版选修2-1第二章3132空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理

高中数学北师大版选修2-1第二章3132空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理内容摘要：

， AA 1 ＝ 4 ， D 为 A 1 B 1 的中 点，在如图所示的空间直角坐标系中，求 DO 、1AB的坐标． 解： ( 1) ∵ DO ＝－ OD ＝－ (1OO＋1OD) ＝－ [1OO＋12( OA ＋ )] ＝－1OO－12OA －12＝－ 4k － 2 i － j . ∴ DO ＝ ( － 2 ，－ 1 ，－ 4) ． ( 2) ∵1AB＝－1OA＝－ ( OA ＋1AA) ＝－ OA －1AA＝ 2j － 4 i － 4 k . ∴1AB＝ ( － 4,2 ，－ 4) . [ 例 2] 如图，已知单位正方体 ABCD －A ′ B ′ C ′ D ′ .求： (1) 向量 CA  在 CD 上的投影； (2) CD 是单位向量，且垂直于平面A DD ′ A ′ ，求向量 CA  在 DC 上的投影． [ 思路点拨 ] a 在 b 上的投影为 | a | c os 〈 a ， b 〉，只要求出 | a| 及〈 a ， b 〉即可． [ 精解详析 ] ( 1) 法一 ： 向量 CA  在 CD 上的投影为| CA  | c os 〈 CA  ， CD 〉，又正方体棱长为 1 ， ∴ | CA ′ |＝ 12＋ 12＋ 12＝ 3 ， ∴ | CA  |＝ 3 ， ∠ D CA ′ 即为 CA  与 CD 的夹角，在 Rt △ A ′ CD 中， c os ∠ A ′ CD ＝13＝33， ∴ CA  CA  在 CD 上的投影为 | CA  | c os 〈 CA  ， CD 〉＝ 3 33＝ 1. 法二 ： 在正方体 ABCD － A ′ B ′ C ′ D ′ 中， DC ⊥ AD ，〈 CA  ， CD 〉＝ ∠ D CA ′ . ∴ CA  在 CD 上的投影为： | CA  | c os 〈 CA  ， CD 〉 ＝ | CA  | c os ∠ DCA ′ ＝ | CD |＝ 1. ( 2) CA  与 DC 的夹角为 180176。 － ∠ A ′ CD ， ∴ CA  在 DC 上的投影为 | CA  | c os ( 180176。 － ∠ A ′ CD ) ＝－ | CA  | c os ∠ D ′ CA ＝－ 1. [ 一点通 ] ( 1) 求向量 a 在向量 b 上的投影，可先求出 |a| ，再求出两个向量 a 与 b 的夹角，最后计算 |a| c os 〈 a ， b 〉，即为向量 a 在向量 b 上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解． ( 2) 在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中〈 CA  ， CD 〉与〈 CA  ， DC 〉是不同的，其和为 π. 4 ．已知 i ， j ， k 为标准正交基， a ＝ i ＋ 2 j ＋ 3 k ，则 a 在 i 方向上的投影为 ( ) A ． 1 B ．－ 1 C. 14 D ．－ 14 解析： a i ＝ |a||i | c os 〈 a ， i 〉 , ∴ | a |c os 〈。