高中数学北师大版选修2-1第三章反证法内容摘要：

1. ∵ 4(m2＋ m)是偶数， ∴ 4m2＋ 4m＋ 1为奇数，即 a2为奇数，与已知矛盾． ∴ a一定是偶数 . [例 2] 求证函数 f(x)＝ 2x＋ 1有且只有一个零点． [思路点拨 ] 一般先证存在性，再用反证法证唯一性． [ 精解详析 ] (1) 存在性：因为 2 ( －12) ＋ 1 ＝ 0 ，所以－12为函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 的零点． 所以函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 至少存在一个零点． (2) 唯一性：假设函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 除－12外还有零点x0x0≠ －12，则 f－12＝ f ( x0) ＝ 0. 即 2 －12＋ 1 ＝ 2 x0＋ 1. ∴ x 0 ＝－12，这与 x 0 ≠ －12矛盾． 故假设不成立，即函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 除－12外没有零点． 综上所述，函数 f ( x ) ＝ 2 x ＋ 1 有且只有一个零点． [一点通 ] (1)结论以 “有且只有 ”、 “只有一个 ”、 “唯一存在 ”等形式出现的 “唯一 ”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明简单而又明了． (2)“有且只有 ”的含义有两层．①存在性：本题中只需找到函数 f(x)＝ 2x＋ 1的一个零点即可．②唯一性：正面直接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原命题的正确性． 3．过平面 α上一点 A，作直线 a⊥ α，求证： a是唯一的． 证明： 假设 a不是唯一的，则过点 A至少还有一条直线 b满足 b⊥ α. ∵ a， b是相交直线， ∴ a， b可以确定一个平面。
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