高中数学北师大版选修2-1第三章4243圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点

高中数学北师大版选修2-1第三章4243圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点内容摘要：

4 63， 2 为所求的点 . [ 例 2] 若直线 y ＝ kx ＋ 1 与焦点在 x 轴上的椭圆x25＋y2m＝ 1总有公共点，求 m 的取值范围． [ 思路点拨 ] 几何法：由于直线过定点 ( 0,1) ，而直线与椭圆总有公共点，所以 ( 0,1) 必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求 m 的范围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求 m 的范围． [ 精解详析 ] 法一： 由于椭圆的焦点在 x 轴上，知： 0 m 5 ， 又 ∵ 直线与椭圆总有公共点， ∴ 直线所经过的定点 (0,1) 必在椭圆内部或边界上， ∴025＋12m≤ 1 ，即 m ≥ 1 ， 故 m 的取值范围是 m ∈ [ 1,5) ． 法二： 由椭圆方程及椭圆焦点在 x 轴上知： 0 m 5. 由 y ＝ kx ＋ 1x25＋y2m＝ 1 得： (m＋ 5k2)x2＋ 10kx＋ 5(1－ m)＝ 0， 又直线与椭圆有公共点， ∴ 上述方程的 Δ≥0对一切 k都成立， 即 (10k)2－ 4(m＋ 5k2) 5(1－ m)≥0， 亦即 5k2≥1－ m对一切 k都成立， ∴ 1－ m≤0，即 m≥1，故 m的取值范围是 m∈ [1,5)． [一点通 ] 解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果． 3．求过点 P(0,1)且与抛物线 y2＝ 2x只有一个公共点的直线 方程． 解： (1)若直线的斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为 x＝ 线只有一个公共点，即直线 x＝ 0与抛 物线只有一个公共点． (2) 若直线的斜率存在，设方程为 y ＝ kx ＋ 1 ， 由 y2＝ 2 x ，y ＝ kx ＋ 1 ，得 k2x2＋ 2( k － 1) x ＋ 1 ＝ 0 ，当 k ＝ 0 时， 解得 y ＝ 1 ， 即直线 y ＝ 1 与抛物线只有一个公共点． 当 k ≠ 0 时，由 Δ ＝ 4( k － 1)2－ 4 k2＝ 0 ，得 k ＝12. 即直线 y ＝12x ＋ 1 与抛物线只有一个公共点． 综上所述，所求直线方程为 x ＝ 0 或 y ＝ 1 或 y ＝12x ＋ 1. 4．已知双曲线 C： 2x2－ y2＝ 2与点 P(1,2)，求过点 P(1,2)的 直线 l的斜率 (存在 )的取值范围，使 l与 C分别有一个交 点，两个交点，没有交点． 解： 设直线 l 为 y － 2 ＝ k ( x － 1) ，代入双曲线方程中，有 (2－ k2) x2＋ 2( k2－ 2 k ) x － k2＋ 4 k － 6 ＝ 0. 当 k2＝ 2 时，即 k ＝ 177。 2 时，有一个解． 当 k2≠ 2 时， Δ ＝ 4( k2－ 2 k )2－ 4( 2 － k2)( － k2＋ 4 k － 6) ＝。