高中数学北师大版选修2-1第三章31双曲线及其标准方程

高中数学北师大版选修2-1第三章31双曲线及其标准方程内容摘要：

代入上述方程，得  m ＋ n ＝ 1 ，4 m ＋ 25 n ＝ 1 ，解得 m ＝87，n ＝－17. 所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝ 1. [一点通 ] 求双曲线标准方程的常用方法： (1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下： 解： 设所求双曲线的标准方程为 mx2＋ ny2＝1( mn 0) ，又双曲线过 P 、 Q 两点， ∴ 9 m ＋ 28 n ＝ 1 ，72 m ＋ 49 n ＝ 1 ，解得 m ＝－175，n ＝125. 故所求双曲线标准方程为y225－x275＝ 1. 1．已知双曲线经过点 P(3,2)和点 Q(－ 6， 7)，求该双曲 线的标准方程． 解： 因为椭圆x227＋y236＝ 1 的焦点为 (0 ，－ 3) ， (0,3) ， A 点的坐标为 ( 15 ， 4) 或 ( － 15 ， 4) ， 设双曲线的标准方程为 2 ．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝ 1 有共同的焦点，且与椭 圆相交，一个交点 A 的纵坐标为 4 ，求双曲线的方程． y2a2 －x2b2 ＝ 1( a 0 ， b 0) ， 所以 a2＋ b2＝ 9 ，16a2 －15b2 ＝ 1 ，  a2＝ 4 ，b2＝ 5. 所以所求的双曲线的标准方程为y24－x25＝ 1. [ 例 2] 已知曲线 C ：x2t2 ＋y2t2－ 1＝ 1( t ≠0 ， t ＝ 177。 1) ． (1) 求 t 为何值时，曲线 C 分别为椭圆、双曲线； (2) 求证：不论 t 为何值，曲线 C 有相同的焦点． [思路点拨 ] 方程 Ax2＋ By2＝ 1表示的轨迹是由参数 A、 B的值及符号确定，因此要确定轨迹，需对 A、 B进行讨论． [ 精解详析 ] (1) 当 | t | 1 时， t20 ， t2－ 10 ，且 t2≠ t2－ 1 ，曲线 C 为椭圆； 当 | t | 1 时， t20 ， t2－ 1 0 ，曲线 C 为双曲线． (2) 证明：当 | t | 1 时，曲线 C 是椭圆，且 t2 t2－ 1 ， 因此 c2＝ a2－ b2＝ t2－ ( t2－ 1) ＝ 1 ， ∴ 焦点为 F1( － 1,0) ， F2(1,0。