高中数学北师大版必修5通项公式an的求法导学课件

高中数学北师大版必修5通项公式an的求法导学课件内容摘要：

2,3,4,…),a 2 ≠a 1 ,f(a n ) f(a n 1 )=k(a n a n 1 )(n=2,3,4,…), 其中 a 为常数 ,k 为非零常数 . (1) 构造 b n =a n+1 a n (n ∈ N + ), 证明数列 {b n } 是等比数列。 (2) 求数列 {a n } 的通项公式 . 【解析】 (1) 由 b 1 =a 2 a 1 ≠0 , 可得 :b 2 =a 3 a 2 = f ( a 2 ) f(a 1 )=k(a 2 a 1 ) ≠0 . 由题设条件 , 当 n ≥2时 ,b nbn 1=a n + 1 a na n an 1=f ( an) f ( an 1)a n an 1=k ( an an 1)a n an 1=k, 故数列 {b n } 是公比为k 的等比数列 . (2) 由 (1) 知 b n =kn 1(a 2 a 1 ) ( n ∈ N + ), b 1 +b 2 + …+ b n 1 = ( a 2 a 1 )1 kn 11 k( n ≥2 ) , 而 b 1 +b 2 + …+ b n 1 =a 2 a 1 +a 3 a 2 + …+ a n a n 1 =a n a 1 ( n ≥2 ) , ∴ a n a 1 =(a 2 a 1 )1 k n 11 k( n ≥2 ) , 故 a n =a+[f(a) a]1 k n 11 k(n ∈ N + ). [ 问题 ] 上述解法正确吗 ? [ 结论 ] 不正确 .(2) 中要分 k ≠1 和 k=1 进行讨论 , 以及对 n 要分 n=1 和 n ≥2 进行讨论 . 于是 , 正确的解答为 : (1) 同错解部分 . (2) 由 (1) 知 ,b n =kn 1b 1 =kn 1(a 2 a 1 ) ( n ∈ N + ), 当 k ≠1 时 ,b 1 +b 2 + …+ b n 1 = ( a 2 a 1 )1 kn 11 k( n ≥2 )。 当 k=1 时 ,b 1 +b 2 + …+ b n 1 = ( n 1 ) ( a 2 a 1 ) ( n ≥2 ) . 而 b 1 +b 2 + …+ b n 1 = ( a 2 a 1 ) + ( a 3 a 2 ) + …+ ( a n a n 1 ) = a n a 1 ( n ≥2 ) , ∴ 当 k ≠1 时 ,a n a 1 =(a 2 a 1 )1 kn 11 k( n ≥2 ) , 上式对 n=1 也成立 , 所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =a+[f(a) a]1 kn 11 k。