高中数学北师大版必修5等比数列的应用导学课件

高中数学北师大版必修5等比数列的应用导学课件内容摘要：

28 . 等比数列的证明 数列 {a n } 满足 :a 1 =1,a 2 =32,a n+2 =32a n+1 12a n (n∈N + ). (1) 记 d n =a n+1 a n , 求证 :{d n } 是等比数列 . (2) 求数列 {a n } 的通项公式 . 【解析】 ( 1 ) a 1 = 1 , a 2 =32, ∴a 2 a 1 =32 1 =12, 又 a n+ 2 a n+ 1 =12a n+ 1 12a n . ∴a n + 2 a n + 1a n + 1 a n=12, 即 d n+ 1 =12d n . 二次函数在实际中的应用 故数列 { d n } 是以12为首项 ,12为公比的等比数列 . ( 2 ) 由 ( 1 ) 得 d n =a n+ 1 a n = (12)n, ∴a n = ( a n a n 1 ) + ( a n 1 a n 2 ) + … + ( a 2 a 1 ) +a 1 = (12)n 1+ (12)n 2+ … + (12)1+ 1 = 2 (12)n 1. 已知各项均不相等的等差数列 {a n } 的前四项和为 14, 且 a 1 ,a 3 ,a 7 恰为等比数列 {b n } 的前三项 . (1) 分别求数列 {a n } , { b n } 的前 n 项和 S n ,T n。 (2) 记数列 {a n b n } 的前 n 项和为 K n , 设 c n =S n T nK n, 求证 :c n+1 c n ( n ∈N + ). 【解析】 (1) 设公差为 d, 则 4 a1+ 6d = 14 ,( a1+ 2d )2= a1( a1+ 6d ), 解得 a 1 =2,d=1 或 a 1 =72, d = 0 ( 舍去 ), ∴a n =n+1,S n =n ( n + 3 )2. 又 a 1 =2,d=1,∴ a 3 = 4 , 即 b 2 =4. ∴ 数列 {b n } 的首项为 b 1 =2, 公比 q=b2b1=2, ∴b n =2n,T n =2n + 1 2. ( 2 ) ∵K n = 2 21+ 3 22+ …+ ( n + 1 ) 2n, ① ∴2 K n = 2 22+ 3 23+ …+ n 2n+ ( n + 1 ) 2n + 1, ② ① ② 得 K n = 2 21+22+23+ …+ 2n ( n + 1 ) 2n + 1,。