高中数学422-423圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用课件新人教a版必修2

高中数学422-423圆与圆的位置关系直线与圆的方程的应用课件新人教a版必修2内容摘要：

1 ： x2＋ y2＋ 2 x － 6 y ＋ 1 ＝ 0 ，与圆 C 2 ： x2＋ y2 － 4 x ＋ 2 y － 11 ＝ 0 相交于 A ， B 两点，求 AB 所在的直线方程和公共弦 AB 的长． 解： 由圆 C 1 的方程减去圆 C 2 的方程，整理，得方程3 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 ，又由于方程 3 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程 3 x － 4 y＋ 6 ＝ 0 的解．因为两点确定一条直线，故 3 x － 4 y ＋ 6＝ 0 是两圆公共弦 AB 所在的直线方程． ∵ 圆 C1： x2＋ y2＋ 2 x － 6 y ＋ 1 ＝ 0 ， ∴ 圆心为 C1( － 1,3) ，半径 r ＝ 3 ， ∴ 圆心 C1到直线 AB 的距离 d ＝│ － 3 － 12 ＋ 6 │25＝95， ∴ │ AB │ ＝ 2 r2－ d2＝ 2 9 － 952＝245. ∴ AB 所在的直线方程为 3 x － 4 y ＋ 6 ＝ 0 ，公共弦 AB 的长为245. 直线与圆的方程的实际应用 [ 例 3] 有一种大型商品， A 、 B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费 A 地是 B 地的两倍，若 A ， B 两地相距 10 公里，顾客选择 A地或 B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点。 [ 解 ] 以 AB 所在直线为 x 轴， 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，建立 直角坐标系，如图所示，设 A ( － 5 ,0) ，则 B (5,0) ．在坐标平面内任取一点 P ( x ， y ) ，设从 A 运货到 P地的运费为 2 a 元 / k m ，则从 B 运货到 P 地运费为 a 元 / k m . 若 P 地居民选择在 A 地购买此商品， 则 2 a  x ＋ 5 2＋ y2＜ a  x － 5 2＋ y2， 整理得 ( x ＋253)2＋ y2＜ (203)2. 即点 P 在圆 C ： ( x ＋253)2＋ y2＝ (203)2的内部． 也就是说，圆 C 内的居民应在 A 地购物． 同理可推得圆 C 外的居民应在 B 地购物． 圆 C 上的居民可随意选择 A 、 B 两地之一购物． [ 类题通法 ] 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤． ( 1) 认真审题，明确题意； ( 2) 建立平面直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与曲线的方程； ( 3) 利用直线与圆的方程的有关知识求解问题； ( 4) 把代数结果还原为实际问题的解． [ 活学活用 ] 3 ．某公园有 A 、 B 两个景点，位于一条小路 ( 直道 ) 的同 侧，分别距小路 2 k m 和 2 2 k m ，且 A 、 B 景点间相距 2 k m ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处。 解： 所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过 A 、 B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为 x 轴， B 点在 y 轴正半轴上建立平面直角坐标系． 由题意，得 A ( 2 ， 2 ) ， B ( 0,2 2 ) ， 设圆的方程为 ( x － a )2＋ ( y － b )2＝ b2，由 A 、 B 两点在圆上，得 a ＝ 0 ，b ＝ 2或 a ＝ 4 2 ，b ＝ 5 2 ，由实际意义知 a ＝ 0 ， b ＝ 2 ， ∴ 圆的方程为 x2＋ ( y － 2 )2＝ 2 ，切点为 ( 0,0) ， ∴ 观景点应设在 B 景点在小路的投影处 . 直线与圆的方程在平面几何中的应用 [ 例 4] 如图所示，在圆 O 上任取 C 点为圆心，作圆 C 与 圆 O 的直径 AB 相切于 D ，圆 C 与 圆 O 交于点 E ， F ，且 EF 与 CD 相交于 H .求证： EF 平分CD . ∴ 圆 O ： x2＋ y2＝ r2， [ 证明 ] 以 AB 所在直线为 x 轴， O 为坐标原点建立平面直角坐标系．如图所示，设 | AB |＝ 2 r ， D ( a, 0) ，则 | CD |＝ r 2 － a 2 ， ∴ C ( a ， r 2 － a 2 ) ， 圆 C ： ( x － a )2＋ ( y － r2－ a2)2＝ r2－ a2. 两方程作差得直线 EF 的方程为 2 ax ＋ 2 r2－ a2。