北师大版高中数学选修2-1立体几何中的向量方法之三

北师大版高中数学选修2-1立体几何中的向量方法之三内容摘要：

线 （库底与水坝的交线）的距离 AC和 BD分别为 和 ,CD的长为 , AB的长为。 求库底与水坝所成二面角的余弦值。 la b c d思考： （ 1）本题中如果夹角 可以测出，而 AB未知， 其他条件不变，可以计算出 AB的长吗。  A B C D 图 3 22 )( DBCDACAB 由)(2222 DBCDDBACCDACBDCDAB 分析： c o s2222 abbca ∴ 可算出 AB 的长。 （ 2）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗。 分析： 如图，设以顶点 为端点的对角线 长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为。 A1 B1 C1 D1 A B C D Ad ，， cba 21212 )( CCACABCAd 则c o s)(2222 acbcabbca )(2c os 2222acbcabcbad  （ 3）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个侧面夹角的余弦值吗。 aA1 B1 C1 D1 A B C D 分析： 二面角  平面角  向量的夹角 回归图形 解： 如图，在平面 AB1 内过 A1 作 A1E⊥ AB 于点 E， E F 在平面 AC 内作 CF⊥ AB 于 F。  c o s s i n 1 aBFAEaCFEA  ，则 CFEAFCEA c o s c o sc o s 11 ，|||| 11CFEACFEA 221s i n)()(aBFCBAEAA 2222222s i nc os)c os (c os)c os (c osc osaaaaa c o s1c o s ∴ 可以确定这个四棱柱相邻两个侧面夹角的余弦值。 例 2 正三棱柱 中 ， D是 AC的中点 ， 当 时 ， 求二面角 的余弦值。 111 CBAA B C 11 BCAB  CBCD  1C A D B C1 B1 A1 )0,21,23( aaA )0,0(。