北师大版高中数学必修523解三角形的实际应用举例之二

北师大版高中数学必修523解三角形的实际应用举例之二内容摘要：

76。 － 15176。 － 30176。 sin15 176。 ＝20 226 － 24＝ 20( 3 ＋ 1) ， 在 Rt △ BCD 中， CD ＝ BC sin ∠ C BD ＝ 20( 3 ＋1) sin60 176。 ≈ ( m) ， ∴ 山高约 m. • [例 3] (2020福建卷 )某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口 O北偏西 30176。 且与该港口相距 20海里的 A处，并正以 30海里 /小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以 v海里 /小时的航行速度匀速行驶，经过 t小时与轮船相遇． • (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少。 • (2)为保证小艇在 30分钟内 (含 30分钟 )能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； • (3)是否存在 v，使得小艇以 v海里 /小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇。 若存在，试确定 v的取值范围；若不存在，请说明理由． 解析： 解法 1 ： ( 1) 设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S ＝ 900 t2＋ 400 － 2 30 t 20 c o s  90176。 － 30176。  ＝ 900 t2－ 600 t＋ 400 ＝ 900  t－132＋ 300 . 故当 t＝13时， Sm in＝ 10 3 ， v ＝10 313＝ 30 3 . 即小艇以 30 3 海里 /小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． • (2)设小艇与轮船在 B处相遇． 由题意可得： ( v t )2＝ 202＋ ( 30 t )2－ 2 20 30 t c os( 90176。 － 30176。 ) ， 化简得： v2＝400t2 －600t＋ 900 ＝ 400(1t－34)2＋ 675. 由于 0 t ≤12，即1t≥ 2 ， 所以当1t＝ 2 时， v 取得最小值 10 13 ， 即小艇航行速度的最小值为 10 13 海里 /小时． ( 3) 由 ( 2) 知 v2＝400t2 －600t＋ 900 ，设1t＝ u ( u 0) ， 于是 400 u2－ 600 u ＋ 900 － v2＝ 0.( *) 小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程 ( *) 应有两个不等正根．即：  6002－ 1600  900 － v2 0 ，900 － v2 0. 解得 15 3 v 30. 所以， v 的取值范围是 ( 15 3 ， 30) ． • 解法 2： (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在 C处相遇． 在 Rt △ OA C 中， OC ＝ 20c os30176。 ＝ 10 3 ， AC ＝ 20sin30176。 ＝ 10. 又 AC ＝ 30 t， OC ＝ v t . 此时，轮船航行时间 t＝1030＝13， v ＝10 313＝ 30 3 . 即小艇以 30 3 海里 /小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小． ( 2) 同解法 1. ( 3) 同解法 1. • [变式训练 3] 如图，甲船在 A处，乙船在甲船的南偏东 45176。 方向，距 A 9海里的 B处，并以 20海里 /时的速度沿南偏西 15176。 方向行驶，若甲船以 28海里 /时的速度行驶，应沿什么方向，用多少小时能最快追上乙船。 (精确到度 ) • 分析： 假设用 t小时在 C处追上乙船，则在△ ABC中， AC， BC可用 t来表示，进而利用余弦定理求得 t，解此三角形即可． 解析： 假设用 t 小时，甲船在 C 处追上乙船，在 △ ABC中， AC ＝ 28 t， BC ＝ 20 t， ∠ ABC ＝ 180176。 － 45176。 － 15176。 ＝ 120176。 . 由余弦定理，得 AC2＝ AB2＋ BC2－ 2 AB BC c os ∠ ABC ， 即 ( 28 t )2＝ 81 ＋ ( 20 t )2－ 2 9 20 t ( －12) ， 整理 ， 得 128 t2－ 60 t－ 27 ＝ 0 ， 即 (4 t－ 3) ( 32 t＋ 9) ＝ 0. ∴ t＝34或 t＝－932( 舍去 ) ． ∴ AC ＝ 28 34＝ 21 ， BC ＝ 20 34＝ 15. 由正弦定理 ， 得 sin ∠ BAC ＝B C sin ∠ ABCAC＝15 3221＝5 314. 又 ∠ ABC ＝ 120176。 ， ∴∠ BAC 为锐角， ∠ BAC ≈ 38176。 . ∴ 45176。 － 38176。 ＝ 7176。 . ∴ 甲船应沿南偏东 7176。 方向用34小时最快追上乙船． [ 例 4] 平面内三个力 F 1 、 F 2 、 F 3 作用于同一点且处于平衡状态，已知 | F 1 |＝ 1 N ， | F 2 |＝6 ＋ 22 N ， F 1。