北师大版选修2-2高考数学42微积分基本定理

北师大版选修2-2高考数学42微积分基本定理内容摘要：

x d x= 32s in x |ππ3−12co s x |ππ3 = 32s in π3−12 cos π cos π3 = 34+12+14= 0 . 探究一 探究二 探究三 点评 求导与微积分基本定理在一定程度上可以理解为互为逆运算 ,它们的联系就是常见函数的导数公式 ,所以要熟记这些公式才能更好地解决定积分问题 . 探究一 探究二 探究三 􀎥 变式训练 1 􀎥 已知 f ( a ) = 10(2 ax2 a2x )d x , 求 f ( a ) 的最大值 . 解 : ∵ 10(2 ax2 a2x )d x= 23𝑎 𝑥312𝑎2𝑥2 |01 =23a 12a2, ∴ f ( a ) =23a 12a2= 12 𝑎243𝑎 +49 +29 = 12 𝑎 23 2+29. ∴ 当 a=23时 , f ( a ) 的最大值为29. 探究一 探究二 探究三 探究三 几类特殊被积函数的定积分 1 .对于直接用微积分基本定理不易求解的题目 ,转化为用定积分的几何意义求解 ,不仅简洁可行 ,而且充分体现了初等数学与高等数学间的关系 ,因此 ,充分把握定积分的几何意义 ,也是学好本节内容的关键 . 2 .对于被积函数是分段函数的定积分 ,通常是依据定积分 “ 对区间的可加性 ” ,先分段积分再求和 .要注意各段定积分的上、下限的取值区间 . 3 .对于较复杂的被积函数 ,要先化简 ,再求定积分 .若是计算 𝑏𝑎|f ( x ) | d x ,需要去掉绝对值符号 ,这时要讨论 f ( x ) 的正负 ,转化为分段函数求定积分 . 探究一 探究二 探究三 典例提升 3 求下列定积分 . ( 1 ) 3 2 16 + 6 𝑥 𝑥 2 d x。 ( 2 ) 若 f ( x ) = 𝑥2, 𝑥 ≤ 0 ,cos 𝑥 1 , 𝑥 0 ,求 1 1f ( x )d x。 ( 3 ) π20 1 sin2 𝑥 d x . 思路分析 :由于被积函数不是基本初等函数 ,因此 ,需要先变换被积函数 ,再求定积分 . 探究一 探究二 探究三 解 : ( 1 ) 设 y= 16 + 6 𝑥 𝑥2, 即 ( x 3)2+y2= 25( y ≥ 0 ) , ∵ 3 2 16 + 6 𝑥 𝑥 2 d x 表示在区间 [ 2 , 3 ] 上 , x 轴上方四分之一圆的面积 , ∴ 3 2 16 + 6 𝑥 𝑥 2 d。