人教b版高中数学选修2-2第3章31第1课时数系的扩充与复数的概念

人教b版高中数学选修2-2第3章31第1课时数系的扩充与复数的概念内容摘要：

“ 虚 ” 为“ 实 ” ，实现化归和转化，从而利用列方程 (组 )的方法解决复数问题． 若 (x＋ y－ 2)＋ (x－ y－ 4)i＝ 0(x、 y∈ R)，则 x＝ ________， y＝ ________. [答案 ] 3 － 1 [ 解析 ] 根据复数相等的充要条件有 x ＋ y － 2 ＝ 0x － y － 4 ＝ 0， ∴ x ＝ 3y ＝－ 1. 四、不全为实数的两个复数不能比较大小 两个实数可以比较大小，但两个复数只要有一个为虚数，便不能比较大小．为什么。 若两个复数可以比较大小，如 0与 i，由虚数单位 i的规定知0≠i，则必有 0i或 0i，这两种情况中有且只有一种成立．若0i⇒0 ii i，即 0－ 0－ 1矛盾；若 0i⇒0＋ (－ i)i＋(－ i)⇒－ i0⇔(－ i)20⇒－ 10，矛盾．综上，只能有 0≠i. 所以，不全为实数的两个复数不能比较大小． 如果 l og 12 ( m ＋ n ) － ( m 2 － 3 m ) i － 1 ，求自然数 m ， n 的值． [ 解析 ] 因为 l o g 12 ( m ＋ n ) － ( m2－ 3 m ) i － 1 ， 所以 l o g 12 ( m ＋ n ) － ( m2－ 3 m )i 是实数， 从而有 m2－ 3 m ＝ 0 ① l o g 12  m ＋ n  － 1 ②， 由 ① 得 m ＝ 0 或 m ＝ 3 ， 当 m ＝ 0 时，代入 ② 得 n 2 ，又 m ＋ n 0 ，所以 n ＝ 1 ； 当 m ＝ 3 时，代入 ② 得 n － 1 ，与 n 是自然数矛盾． 综上可得 m ＝ 0 ， n ＝ 1. 课堂典例探究 复数的有关概念 已知复数 z ＝a2－ 7 a ＋ 6a2－ 1＋ ( a2－ 5 a － 6 ) i ( a ∈ R ) ，试求实数 a 分别取什么值时， z 分别为： ( 1 ) 实数； ( 2 ) 虚数； ( 3 ) 纯虚数． [ 解析 ] ( 1 ) 若 z 为实数，则 a2－ 5 a － 6 ＝ 0. ∴ a ＝－ 1 或 6. 但当 a ＝－ 1 时 ，a2－ 7 a ＋ 6a2－ 1无意义，故 a ＝6. ( 2 ) 若 z 为虚数，则 a2－ 5 a － 6 ≠ 0 ， ∴ a ≠ － 1 且 a ≠ 6. 但当 a ＝ 1 时，a2－ 7 a ＋ 6a2－ 1无意义，故 a ≠ 1. ∴ a ∈ ( － ∞ ，－ 1) ∪ ( － 1 , 1 ) ∪ ( 1 , 6 ) ∪ (6 ，＋ ∞ ) ． ( 3 ) 当 z 为纯虚数时，有 a2－ 5 a － 6 ≠ 0 ，a2－ 7 a ＋ 6a2－ 1＝ 0 ， ∴ a ≠ － 1 且 a ≠ 6 ，a ＝ 6. ∴ 不存在实数 a 使 z 为纯虚数． [ 方法总结 ] 由于 a ∈ R ，所以复数 z 的实部与虚部分别为a2－ 7 a ＋ 6a2－ 1与 a2－ 5 a － 6. 求解第 ( 1 ) 小题时，仅注意虚部等于零是不够的，还需考虑它的实部是否有意义，否则本小题将出现增解；求解第 ( 2 ) 小题时，同样要注意实部。