人教b版高中数学选修2-2第3章数系的扩充与复数的引入章末归纳总结

人教b版高中数学选修2-2第3章数系的扩充与复数的引入章末归纳总结内容摘要：

， y应该满足的条件 ，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理复数问题 ． 复数问题实数化的思想 已知 x ， y 为共轭复数，且 ( x ＋ y ) 2 － 3 xy i ＝ 4 － 6i ，求 x ， y . [ 解析 ] 设 x ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，则 y ＝ a － b i. 又 ( x ＋ y )2－ 3 xy i ＝ 4 － 6i ， ∴ 4 a2－ 3( a2＋ b2)i ＝ 4 － 6i ， ∴ 4 a2＝ 4a2＋ b2＝ 2， ∴ a ＝ 1b ＝ 1或 a ＝ 1b ＝－ 1 或 a ＝－ 1b ＝ 1或 a ＝－ 1b ＝－ 1， ∴ x ＝ 1 ＋ iy ＝ 1 － i或 x ＝ 1 － iy ＝ 1 ＋ i或 x ＝－ 1 ＋ iy ＝－ 1 － i或 x ＝－ 1 － iy ＝－ 1 ＋ i. 共轭复数与模 共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程． 1 ． |z |＝ 1 ⇔ z ＝1z； 2 ． z ∈ R ⇔ z ＝ z ； 3 ． z ≠ 0 ， z 为纯虚数 ⇔ z ＝－ z . 复数模的计算公式：若 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，则 |z |＝ a2＋ b2，在解答有关复数模的问题时应重视以下结论的运用： z z ＝ |z |2＝ | z |2， |z 1 z 2 |＝ |z 1 | |z 2 |，z1z 2＝|z 1 ||z 2 |( z 2 ≠ 0) 等． 已知 z ∈ C 且 |z |＝ 1 ，求 |z 2 － z ＋ 1| 的最值． [ 解析 ] 因为 |z |＝ 1 ，所以 z z ＝ 1 ，所以 z2－ z ＋ 1 ＝ z2－ z ＋z z ＝ z ( z ＋ z － 1) ，所以 |z2－ z ＋ 1| ＝ |z ( z ＋ z － 1 ) |＝ |z | | z ＋ z － 1| ＝|z ＋ z － 1 | . 设 z ＝ x ＋ y i( x ， y ∈ R ) ，那么 |z ＋ z － 1| ＝ |2 x － 1| ，又因为 |z |＝ 1 ，所以 x2＋ y2＝ 1. 所以－ 1 ≤ x ≤ 1 ，所以－ 3 ≤ 2 x － 1 ≤ 1 ，则 0 ≤ |2 x － 1| ≤ 3. 所以 |z2－ z ＋ 1| 的最小值为 0 ，最大值为 3. [ 方法总结 ] 本题中求 |z 2 － z ＋ 1| 的最值，如果先设出 z 的代数形式，直接代入进行运算将非常繁琐，并且不易求解，但巧妙利用模的性质进行求解便简化了运算． 已知 z ∈ C ，解方程 z z － 3i z ＝ 1 ＋ 3i. [ 解析 ] ∵ z z ＝ |z |2，把方程变形为 z ＝－ 1 ＋1 － |z |23i ① 两边取模得 | z |2＝ |z |2＝ 1 ＋ 1 － |z |229. 整理得 |z |4－ 1 1 |z |2＋ 10 ＝ 0. 解得 |z |。