中职数学基础模块下册直线、平面垂直的判定与性质1

中职数学基础模块下册直线、平面垂直的判定与性质1内容摘要：

又 SAB， ∴ SC⊥ SM， ∴ △ SMC为直角三角形 . 设 SB=a， 即 SC与平面 ABC所成的角的正切值为 . ,360t an,2 2 aSBSCaSM 则.6 6t an  SCSMS C M66ABSM题型四 二面角的求法 如图所示，三棱锥 P— ABC中， D是 AC的中点， PA=PB=PC= ， AC=2 ， AB= ， BC= . （ 1）求证： PD⊥ 平面 ABC； （ 2）求二面角 P— AB— C的正切值大小 . （ 1）已知三角形三边长，可考虑利用 勾股定理的逆定理证明垂直 . （ 2）关键是找出二面角的平面角，由 AP=PB， 可考虑取 AB的中点 E. 【 例 4】思维启迪252 6（ 1） 证明 连结 BD， ∵ D是 AC的中点， PA=PC= ， ∴ PD⊥ AC. ∵ AC= ， AB= ， BC= ， ∴ AB2+BC2=AC2. ∴∠ ABC=90176。 ，即 AB⊥ BC. ∵ PD2=PA2AD2=3， PB= ， ∴ PD2+BD2=PB2.∴ PD⊥ BD. ∵ AC∩ BD=D， ∴ PD⊥ 平面 ABC. 522 2 6.221 ADACBD 5（ 2） 解 取 AB的中点 E，连结 DE、 PE， 由 E为 AB的中点知 DE∥ BC， ∵ AB⊥ BC， ∴ AB⊥ DE. ∵ PD⊥ 平面 ABC， ∴ PD⊥ AB. 又 AB⊥ DE， DE∩ PD=D， ∴ AB⊥ 平面 PDE， ∴ PE⊥ AB. ∴∠ PED是二面角 P— AB— C的平面角 . 在△ PED中， ∠ PDE=90176。 , ∴ 二面角 P— AB— C的正切值为 . ,3,2 621  PDBCDE.2t an  DEPDP ED2 找二面角的平面角常用的方法有 : (1)定义法：作棱的垂面，得平面角 . (2)利用等腰三角形、等边三角形的性质 ,取中线 . 知能迁移 4 如图所示，四棱锥 P— ABCD的底面 ABCD是直角梯形， PA⊥ 平面 ABCD，且 AD∥ BC， AD⊥ DC,△ ADC和△ ABC均为等腰直角三角形 , 设 PA=AD=DC=a，点 E为侧棱 PB上一点， 且 BE=2EP. （ 1）求证：平面 PCD⊥ 平面 PAD； （ 2）求证：直线 PD∥ 平面 EAC； （ 3）求二面角 B— AC— E的余弦值 . 探究提高（ 1） 证明 ∵ PA⊥ 平面 ABCD， DC 平面 ABCD， ∴ DC⊥ PA. 又 ∵ AD⊥ DC，且 PA与 AD是平面 PAD内两相交 直线， ∴ DC⊥ 平面 PAD. 又 ∵ DC 平面 PCD， ∴ 平面 PCD⊥ 平面 PAD. （ 2） 证明 连结 BD，设 BD与 AC相交于点 F， 连结 EF， 在等腰直角△ ADC中， ∵ AD⊥ DC， .4π A CDD A C又 ∵ AD∥ BC， ∴∠ ACB=∠ DAC= 又 ∵ △ ABC为等腰直角三角形，且底面 ABCD是直 角梯形， （若 ∠ B为直角，则与底面 ABCD是直角梯形相矛盾） . 由 AD=DC=a，易知 AB=AC= a， BC=2a， ∵ BC∥ AD且 BC=2AD， ∴ BF=2FD. 又 ∵ BE=2EP， ∴ PD∥ EF. 又 ∵ EF 平面 EAC， PD 平面 EAC， ∴ 直线 PD∥ 平面 EAC. .4π2π BAC 2（ 3） 解 过点 E作 EH∥ PA交 AB于 H点， 则 EH⊥ 平面 ABCD，又 ∵ AB⊥ AC， ∴ EA⊥ AC. ∴∠ EAH为二面角 B— AC— E的平面角 . ∵ BE=2EP， 即二面角 B— AC— E的余弦值为 . .3231 aABAH ,2t an,3232  AHEHEA HaPAEH又,33co s  EAH33 方法与技巧 （ 1）线面垂直的定义： a与 α 内任何直线都垂 a⊥ α ； （ 3）判定定理 2： a∥ b， a⊥ α b⊥ α ； （ 4）面面平行的性质： α ∥ β ， a⊥ α a⊥ β ； （ 5）面面垂直的性质： α ⊥ β ， α ∩ β =l， a α ， a⊥ l a⊥ β . 。 , ,:1)2(    lnlml Anmm 、 判定定理 n 思想方法 感悟提高 （ 1）定义：两条直线所成的角为 90176。 （ 2）平面几何中证明线线垂直的方法； （ 3）线面垂直的性质： a⊥ α ， b α a⊥ b； （ 4）线面垂直的性质： a⊥ α ， b∥ α a⊥ b. （ 1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角 是直二面角； （ 2）判定定理： a α ， a⊥ β α ⊥ β . 方法 .   失误与防范 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻 找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则 可通过作辅助线来解决 .如有平面垂直时，一般。