20xx-20xx学年人教版高中数学必修一211指数与指数幂的运算

20xx-20xx学年人教版高中数学必修一211指数与指数幂的运算内容摘要：

10 aa,aa  ，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系。 43124 1225105 10 aaa,aaa  ，即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式。 问题 2： 当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式。 如： 323 2 aa  是否可行。 分析： 假设幂的运算性质 mnnm a)a(  对于分数指数幂也适用，那么 2332332 aa)a(   ，这说明 32a 也是 2a 的 3次方根，而 3 2a 也是 a2的 3次方根（由于这里 n=3， a2的 3次方根唯一），于是 323 2 aa 。 这说明 323 2 aa  可行。 由此可有： ： 板书 1*,0(  nNnmaaa n mnm 且) 注意两点 :一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数 an的幂指数 n与根式的根指数 n的一致性。 根式与分数指数幂可以进行互化。 问题 3： 在上述定义中，若没有“ a0”这个限制，行不行。 分析 ：正例： 3 23225105 10331 )2()2(,4)2()2()2(,28)8(  等等； 反例： 6231,2)8()8(,28)8( 6 262331  而实际上；又如： ，）（）（）（ 34124 12 888  34 434 124 12 8888  ）（）（。 这样就产生了混乱，因此“ a0”这个限制不可少。 至于 28)8( 331  ，这是正确的，但此时 31)8( 不能理解 为分数指数幂，31不能代表有理数（因为不能改写为62） ，这只表示一种上标。 而3 2325105 5 )2()2(,)2()2(  ，那是因为 221010 2)(,2)2(  ，负号内部消化了。 问题 4： 如何定义正数的负分数指 数幂和 0的分数指数幂。 分析： 正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿； 0 的分数指数幂与 0的非 0整数幂的意义相仿。 ： 板书 )1*,0(1  nNnmaaanmnm 且 ：（板书） 0的正分数指数幂为 0， 0的负分数指数幂无意义（为什么。 ）。 说明：（ 1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性； （ 2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数； （ 3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书） ( 0 , , )r s r sa a a a r s Q  ； ( ) ( 0 , , )r s rsa a a r s Q   ( ) ( 0 , 0 , )r r ra b a b a b r Q    (4) 根式与分数指数幂可以进行互化 :分式指数 幂可以直接化成根式计算，也可利用mnmnnmn aa)a(   来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。 （ 5）同样可规定 是无理数）的意义：p,0p(a p  ① ap表示一个确定的实数； ② 上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略； ③ 指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。 （ III）例题讲解（ 投影 2） 例 2． 求值： 4332132 8116411008 －－－ ），（），（， 分析： 此题主要运用有理指数幂的运算性质。 解：。 ＝）＝（）＝（）；（＝＝＝）＝（）（；＝＝＝）＝（；＝＝＝）＝（－）（－－）（－）（－－－－－）（－－－。