232等比数列的前n项和(二)学案人教b版必修5

232等比数列的前n项和(二)学案人教b版必修5内容摘要：

，根据规划 ， 本年度投入 800 万元 ， 以后每年投入比上年减少 15， 本年度当地旅游业收入估计为 400 万元 ， 由于该项建设对旅游业的促进作用 ， 预计今后的旅游业收入每年 会比上年增加14. (1)设 n 年内 (本年度为第一年 )总投入为 an万元 ， 旅游业总收入为 bn万元 ， 写出 an， bn的表达式 ； (2)至少经过多少年旅游业的总收入才能超过总投入。 2． 等比数列的前 n项和 (二 ) 知识梳理 1－ qn1－ q a1－ anq1－ q na1 2． )(1)等比 (3)q 3. a1q－ 1 自主探究 证明 ∵ a≠ 0， b≠ 0， a≠ b， ∴ ba≠ 1. ∴ 左端＝ an＋ an－ 1b＋ an－ 2b2＋ … ＋ bn ＝ an 1＋ ba＋  ba 2＋ … ＋  ba n ＝an 1－  ba n＋ 11－ ba＝an＋ 1 1－  ba n＋ 1a－ b ＝an＋ 1－ bn＋ 1a－ b ＝右端 ． ∴ an＋ an－ 1b＋ an－ 2b2＋ … ＋ bn＝ an＋ 1－ bn＋ 1a－ b . 对点讲练 例 1 证明 设 {an}的公比为 q，由题设知 a10， q0， 当 q＝ 1 时， Sn＝ na1，从而 SnSn＋ 2－ S2n＋ 1 ＝ na1( n＋ 2)a1－ (n＋ 1)2a21＝－ a210. 当 q≠ 1 时， Sn＝ a11－ qn1－ q ， 从而 SnSn＋ 2－ S2n＋ 1 ＝ a211－ qn1－ qn＋ 21－ q2 －a211－ qn＋ 121－ q2 ＝－ a21qn0. 综上知， SnSn＋ 2S2n＋ 1， ∴ (SnSn＋ 2)＋ 1. 即 ＋ ＋ 22 ＋ 1. 变式训练 1 证明 方法一 设此等比数列的公比为 q，首项为 a1， 当 q＝ 1 时，则 Sn＝ na1， S2n＝ 2na1， S3n＝ 3na1， S2n＋ S22n＝ n2a21＋ 4n2a21＝ 5n2a21， Sn(S2n＋ S3n)＝ na1(2na1＋ 3na1)＝ 5n2a21， ∴ S2n＋ S22n＝ Sn(S2n＋ S3n)． 当 q≠ 1 时，则 Sn＝ a11－ q(1－ qn)， S2n＝ a11－ q(1－ q2n)， S3n＝ a11－ q(1－ q3n)， ∴ S2n＋ S22n＝  a11－ q 2[(1－ qn)2＋ (1－ q2n)2] ＝  a11－ q 2(1－ qn)2(2＋ 2qn＋ q2n)． 又 Sn(S2n＋ S3n)＝  a11－ q 2(1－ qn)2(2＋ 2qn＋ q2n)， ∴ S2n＋ S22n＝ Sn(S2n＋ S3n)． 方法二 根据等比数列性质， 有 S2n＝ Sn＋ qnSn＝ Sn(1＋ qn)， S3n＝ Sn＋ qnSn＋ q2nSn， ∴ S2n＋ S22n＝ S2n＋ [Sn(1＋ qn)]2＝ S2n(2＋ 2qn＋ q2n)， Sn(S2n＋ S3n)＝ S2n(2＋ 2qn＋ q2n)．。