20xx北师大版中考数学专题提升六二次函数图象与性质的综合应用

20xx北师大版中考数学专题提升六二次函数图象与性质的综合应用内容摘要：

时 ， 两点同时停止运动 ， 连结 PQ ， 设运动 时间为 t (s) ， 解答下列问题： ( 第 12 题图 ) (1) 当 t 为何值时 ， P ， Q 两点同时停止运动。 (2) 设 △ PQB 的面积为 S ， 当 t 为何值时 ， S 取得最大值 ， 并求出最大值． (3) 当 △ PQB 为等腰三角形时 ， 求 t 的值． 解： (1) 如解图 ， 过点 C 作 CE ⊥ AB 于点 E . ∵ DC ∥ AB ， DA ⊥ AB ， ∴ 四边形 ADCE 是矩形 ， ∴ AE ＝ DC ＝ 5 ， CE ＝ AD ＝ 4 ， ∴ BE ＝ 3 ， ∴ BC ＝ 32＋ 42＝ 5 ， ∴ BC ＜ AB ， ∴ 点 P 到点 C 时 ， P ， Q 同时停止运动 ， ∴ t ＝51＝ 5(s) ， 即 t ＝ 5 s 时 ， P ， Q 两点同时停止运动． ( 第 12 题图解 ) (2) 由题意知 ， AQ ＝ BP ＝ t ， ∴ QB ＝ 8 － t ， 如解图 ， 过点 P 作 PF ⊥ QB 于点 F ， 则 △ BPF ～ △ BCE ， ∴PFCE＝BPBC， 即PF4＝t5， ∴ PF ＝4 t5， ∴ S ＝12QB PF ＝12(8 － t )4 t5＝－25t2＋16 t5＝－25( t － 4)2＋325(0 ＜ t ≤ 5) ． ∵ －25＜ 0 ， ∴ 当 t ＝ 4 时 ， S 有最大值 ， S 的最大值是325. (3) ∵ cos B ＝BEBC＝35， ∴ BF ＝ t cos B ＝3 t5， ∴ QF ＝ AB － AQ － BF ＝ 8 －8 t5， ∴ QP ＝ QF2＋ PF2＝8 －8 t52＋4 t52 ＝ 415t2－85t ＋ 4 ① 当 PQ ＝ PB 时，即 415t2－85t ＋ 4 ＝ t ， 解得 t ＝128 ＋ 230422( 舍去负值 ) ∵ t ＝128 ＋ 230422＞ 5 ，不合题意，故舍去； ② 当 PQ ＝ BQ 时，即 415t2－85t ＋ 4 ＝ 8 － t ， 解得 t1＝ 0( 舍去 ) ， t2＝4811； ③ 当 QB ＝ BP ，即 8 － t ＝ t ， 解得 t ＝ 4. 综上所述：当 t ＝4811 s 或 t ＝ 4 s 时， △ PQB 为等腰三角形． 13 ． 如图 ① ， 关于 x 的二次函数 y ＝－ x2＋ bx ＋ c 经过点 A ( － 3 ， 0 ) ， 点C (0 ， 3 ) ， 点 D 为二次函数的顶点 ， DE 为二次函数的对称轴 ， E 在 x 轴上． (1) 求抛物线的表达式． (2) DE 上是否存在点 P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等 ， 若存在 ， 求出点 P ；若不存在 ， 请说明理由． ( 第 13 题图 ) (3) 如图 ② ， DE 的左侧抛物线上是否存在点 F ， 使 2 S △FBC＝ 3 S △EBC， 若存在 ， 求出点 F 的坐标；若不存在 ， 请说明理由． 解： (1) 将点 A ( － 3 ， 0 ) ， C (0 ， 3 ) 的坐标代入 y ＝－ x2＋ bx ＋ c ， 得  － 9 － 3 b ＋ c ＝ 0 ，c ＝ 3 ，解得 b ＝－ 2 ，c ＝ 3. ∴ 抛物线的表达式为 y ＝－ x2－ 2 x ＋ 3. (2) 存在． ∵ y ＝－ x2－ 2 x ＋ 3 ＝－ ( x ＋ 1)2＋ 4 ， ∴ 点 D ( － 1 ， 4 ) ， E ( － 1 ， 0 ) ． ∴ AE ＝ 2 ， DE ＝ 4 ， ∴ AD ＝ AE2＋ DE2＝ 2 5 . ∴ sin ∠ ADE ＝AEAD＝22 5＝55. 设点 P ( － 1 ， p ) ， 易得当点 P 在 ∠ DAB 或 ∠ DAB 的外角平分线上时 ， 点 P 到 AD 的距离与到 x 轴的距离相等． ① 当点 P 在 ∠ DAB 的角平分线时 ， 如解图 ① ， 过点 P 作 PM ⊥ AD 于点M ， 则 PM ＝ PD。