北师大版高考数学一轮总复习98曲线与方程

北师大版高考数学一轮总复习98曲线与方程内容摘要：

2＝ 1 C ． x2＝ 8 y D ． x ＝ 0 [ 答案 ] C [ 解析 ] 动点到 ( 0,2) 和直线 y ＝－ 2 的距离相等，由抛物线定义可知其轨迹方程为 x2＝ 8 y . 参数法、相关点法求轨迹方程 如 图所示，从双曲线 x2－ y2＝ 1 上一点 Q 引直线x ＋ y ＝ 2 的垂线，垂足为 N ，求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程． [ 思路分析 ] 直接求 P 的轨迹方程不好找关系，可利用 Q ，P ， N 三者之间的对称关系及直线的垂直关系求解． [ 规范解答 ] 设动点 P 的坐标为 ( x ， y ) ，点 Q 的坐标为 ( x1，y1) ，则 N 点的坐标为 (2 x － x1,2 y － y1) ． ∵ 点 N 在直线 x ＋ y ＝ 2 上， ∴ 2 x － x1＋ 2 y － y1＝ 2 ， ① 又 ∵ PQ 垂直于直线 x ＋ y ＝ 2 ， ∴y － y1x － x1＝ 1. 即 x － y ＋ y1－ x1＝ 0. ② 由 ① 、 ② 联立，解得  x1＝32x ＋12y － 1 ，y1＝12x ＋32y － 1.又 Q 在双曲线 x2－ y2＝ 1 上， ∴ x21－ y21＝ 1 ， 即 (32x ＋12y － 1)2－ (12x ＋32y － 1)2＝ 1 整理得 2 x2－ 2 y2－ 2 x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 ，这就是所求动点 P 的轨迹方程． [ 方法总结 ] 体会相关点求轨迹方程的实质，就是用所求动点 P 的坐标表达式 ( 即含有 x 、 y 的表达式 ) 表示已知动点 M的坐标 ( x0， y0) ，即得到 x0＝ f ( x ， y ) ， y0＝ g ( x ， y ) ，再将 x0， y0的表达式代入点 M 的方程 F ( x0， y0) ＝ 0 中，即得所求． 动点 A 在圆 x2＋ y2＝ 1 上移动，它与定点 B ( 3, 0) 连线的中点 的轨迹方程是 ( ) A ． ( x ＋ 3)2＋ y2＝ 4 B ． ( x － 3)2＋ y2＝ 1 C ． (2 x － 3)2＋ 4 y2＝ 1 D.x ＋32＋ y2＝12 [ 答案 ] C [ 解析 ] 设中点 M ( x ， y ) ，则动点 A (2 x － 3,2 y ) ， ∵ A 在圆 x2＋ y2＝ 1 上， ∴ (2 x － 3)2＋ (2 y )2＝ 1 ，即 (2 x － 3)2＋ 4 y2＝ 1 ，故选 C. 直线与圆锥曲线的位置关系 ( 2020 合肥模拟 ) 设抛物线 y2＝ 8 x 的准线与 x 轴交于点 Q ，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ( ) A ． [ －12，12] B ． [ － 2,2] C ． [ － 1,1 ] D ． [ － 4,4] [ 思路分析 ] 设直线 l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用 Δ ≥ 0 解得． [ 规范解答 ] 由题意得 Q ( － 2,0) ． 设 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 2) ，代入 y2＝ 8 x 得 k2x2＋ 4( k2－ 2) x ＋ 4 k2＝ 0 ， ∴ 当 k ＝ 0 时，直线 l 与抛物线恒有一个交点； 当 k ≠ 0 时， Δ ＝ 16( k2－ 2)2－ 16 k4≥ 0 ，即 k2≤ 1 ， ∴ － 1 ≤ k ≤ 1 ，且 k ≠ 0 ， 综上－ 1 ≤ k ≤ 1. [ 答案 ] C [ 方法总结 ] 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解． 若直线 mx ＋ ny ＝ 4 与 ⊙ O ： x2＋ y2＝ 4 没有交点，则过点P ( m ， n ) 的直线与椭圆x29＋y24＝ 1 的交点个数是 ( ) A ．至多为 1 B ． 2 C ． 1 D ． 0。