北师大版高考数学一轮总复习87空间向量及其运算

北师大版高考数学一轮总复习87空间向量及其运算内容摘要：

OA→＋13OB→＋23OC→ [ 思路分析 ] 应用空间向量的线性运算把未知向量用已知向量表示． [ 规范解答 ] OG→＝ OM→＋ MG→＝12OA→＋23MN→＝12OA→＋23( ON→－ OM→) ＝12OA→＋23(OB→＋ OC→2－OA→2) ＝16OA→＋13OB→＋13OC→. [ 答案 ] C [ 方法总结 ] 空间向量的概念及运算是由平面向量延伸而来的，要用类比的思想去掌握．在空间向量的加、减、数乘等线性运算中，要选择适当的向量为基底，用基向量表示出相关向量后再进行向量的运算，同时还要以相应的图形为指导． 已知 O 是空间中任意一点 ， A ， B ， C ， D 四点满足任意三点不共线，但四点共面，且 OA→＝ 2 x BO→＋ 3 y CO→＋ 4 z DO→，则2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝ ________ . [ 答案 ] － 1 [ 解析 ] ∵ A ， B ， C ， D 四点共面， ∴ OA→＝ m OB→＋ n OC→＋ p OD→， 且 m ＋ n ＋ p ＝ 1. 由条件知 OA→＝ ( － 2 x ) OB→＋ ( － 3 y ) OC→＋ ( － 4 z ) OD→， ∴ ( － 2 x ) ＋ ( － 3 y ) ＋ ( － 4 z ) ＝ 1. ∴ 2 x ＋ 3 y ＋ 4 z ＝－ 1. 共线、共面向量定理的应用 已知 E 、 F 、 G 、 H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中点． ( 1) 求证： E 、 F 、 G 、 H 四点共面； ( 2) 求证： BD ∥ 平面 EF GH ； ( 3) 设 M 是 EG 和 FH 的交点， 求证：对空间任一点 O ，有 OM→＝14( OA→＋ OB→＋ OC→＋ OD→) ． [ 思路分析 ] 对于 ( 1) 只要证明向量 EG→可由向量 EF→和 EH→表示即可，对于 ( 2) 只要证明 BD 平行于平面内的一条直线即可，对于 ( 3) 由于四边形 EF GH 为平行四边形，所以 M 为 EG与 FH 的中点，于是向量 OM→可由向量 OG→和 OE→表示，再将 OG→与 OE→用 OC→， OD→和 OA→， OB→表示． [ 规范解答 ] (1) 连接 BG ，则 EG→＝ EB→＋ BG→＝ EB→＋12( BC→＋BD→) ＝ EB→＋ BF→＋ EH→＝ EF→＋ EH→， 由共面向量定理的推论知： E 、 F 、 G 、 H 四点共面． (2) 因为 EH→＝ AH→－ AE→＝12AD→－12AB→＝12( AD→－ AB→) ＝12BD→， 所以 EH ∥ BD ， 又 EH 平面 E FGH ， BD 平面 EFG H . 所以 BD ∥ 平面 EFG H . (3) 连接 OM ， OA ， OB ， OC ， OD ， OE ， OG . 由 (2) 知 EH→＝12BD→， 同理 FG→＝12BD→， 所以 EH→＝ FG→， EH 綊 FG ， 所以 EG ， FH 交于一点 M 且被 M 平分． 故 OM→＝12( OE→＋ OG→) ＝12OE→＋12OG→ ＝1212 OA→＋ OB→ ＋1212 OC→＋ OD→ ＝14( OA→＋ OB→＋ OC→＋ OD→) ． [ 方法总结 ] 在求一个向量由其他向量来表示的时候，通常是利用向量的三角形法则，平行四边形法则和共线向量的特点．如把要求的向量逐步分解，向已知向量靠近，进行求解．若要证明两直线平行，只需判定两直线所在的向量满足线性 a ＝ λ b 关系．即可判定两直线平行， 如第 ( 1) ( 2) 问即是如此． 已知两个非零向量 e1， e2不共线，如果 AB→＝ e1＋ e2， AC→＝2 e1＋ 8 e2， AD→＝ 3 e1－ 3 e2. 求证： AB→、 AC→、 AD→共面． [ 解析 ] 假设存在实数 x ， y ， 使得 AD→＝ x A。