北师大版高考数学一轮总复习72基本不等式

北师大版高考数学一轮总复习72基本不等式内容摘要：

x20 ， 解集为 { x | x ∈ R 且 x ≠ 0} ； ③ a 0 时，－a4a3， 解集为 { x | x a3或 x －a4} ． [ 方法总结 ] 1. 解一元二次不等式的一般步骤： ( 1) 对不等式变形，使一端为 0 且二次项系数大于 0 ，即 ax2＋ bx ＋ c 0( a 0) ， ax2＋ bx ＋ c 0( a 0) ； ( 2) 计算相应的判别式； ( 3) 当 Δ ≥ 0 时，求出相应的一元二次方程的根； ( 4) 根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集． 已知函数 f ( x ) ＝ x2＋ 2 x ， x ≥ 0 ，－ x2＋ 2 x ， x 0 ，解不等式 f ( x ) 3. [ 分析 ] 对 x 分 x ≥ 0 、 x 0 进行讨论从而把 f ( x ) 3 变成两个不等式组． [ 解析 ] 由题意知 x ≥ 0 ，x2＋ 2 x 3或 x 0 ，－ x2＋ 2 x 3 ， 解得： x 1. 故原不等式的解 集为 { x | x 1}. 分式不等式与高次不等式 (1) 解关于 x 的不等式ax ＋ 2x ＋ 1≥ 2( a ∈ R ) ． (2) 解不等式：2 x2－ 5 x － 1x2－ 3 x ＋ 2＞ 1. [ 思路分析 ] 先对不等式进行恒等变形，再进行求解． [ 规范解答 ] (1) 原不等式可化为 a － 2  xx ＋ 1≥ 0. ① 当 a ＝ 2 时，原不等式的解集为 { x | x ∈ R 且 x ≠ － 1} ． ② 当 a 2 时，原不等式的解集为 { x | x ≥ 0 或 x － 1} ． ③ 当 a 2 时，原不等式的解集为 { x |－ 1 x ≤ 0} ． (2) 原不等式等价变形为x2－ 2 x － 3x2－ 3 x ＋ 20 ， 等价变形为 ( x2－ 2 x － 3) ( x2－ 3 x ＋ 2) 0 ， 即 ( x ＋ 1) ( x － 1) ( x － 2) ( x － 3) 0. 由穿根法可得所求不等式解集为 { x | x － 1 或 1 x 2 或x 3} ． [ 方法总结 ] 对于形如f  x g  x  0( 0) 可等价转化为f ( x ) g ( x ) 0( 0) 来解决；对于f  x g  x ≥ 0( ≤ 0) 可等价转化为 f  x  g  x  ≥ 0  ≤ 0 ，g  x  ≠ 0.当然对于高次不等式可用 “ 穿根法 ” 解决． 不等式x2－ 9x － 20 的解集是 ________ ． [ 答案 ] ( － 3, 2) ∪ (3 ，＋ ∞ ) [ 解析 ] 本题考查分式不等式，高次不等式解法． 不等式x2－ 9x － 20 可化为 ( x2－ 9) ( x － 2) 0 ， 即 ( x ＋ 3) ( x － 3) ( x － 2) 0 ，而 ( x ＋ 3) ( x － 3) ( x － 2) ＝ 0 的根为－ 3,2,3 ，由穿根法画图如下： 所以不等式解集为 ( － 3,2) ∪ (3 ，＋ ∞ ) ，穿根法是解高次不等式的好方法，它体现了数形结合思想 . 恒成立问题 已知不等式 mx2－ 2 x ＋ m － 2 0. (1) 若对于所有的实数 x ，不等式恒成立，求 m 的取值范围； (2) 设不等式对于满足 | m |≤ 1 的一切 m 的值都成立，求 x 的取值范围． [ 规范解答 ] (1) 对所有实数 x ，不等式 mx2－ 2 x ＋ m。