北师大版高考数学一轮总复习74二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

北师大版高考数学一轮总复习74二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题内容摘要：

利用基本不等式证明不等式 [ 规范解答 ] ∵ a 0 ， b 0 ， c 0 ， ∴bca＋cab≥ 2bcacab＝ 2 c ； bca＋abc≥ 2bcaabc＝ 2 b ； cab＋abc≥ 2cababc＝ 2 a . 以上三式相加得： 2(bca＋cab＋abc) ≥ 2( a ＋ b ＋ c ) ． 即bca＋cab＋abc≥ a ＋ b ＋ c . [ 方法总结 ] 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 已知 a 0 ， b 0 ， c 0 ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1. 求证：1a＋1b＋1c≥ 9. [ 证明 ] ∵ a 0 ， b 0 ， c 0 ，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1 ， ∴1a＋1b＋1c＝a ＋ b ＋ ca＋a ＋ b ＋ cb＋a ＋ b ＋ cc＝ 3 ＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc ＝ 3 ＋ (ba＋ab) ＋ (ca＋ac) ＋ (cb＋bc) ≥ 3 ＋ 2 ＋ 2 ＋ 2 ＝ 9. 当且仅当 a ＝ b ＝ c ＝13时，取等号 . 利用基本不等式求最值 ( 1) 已知 x 0 ， y 0 ，且 2 x ＋ y ＝ 1 ，则1x＋1y的最小值为 ________ ； ( 2) 当 x 0 时，则 f ( x ) ＝2 xx2＋ 1的最大值为 ________ ． [ 思路分析 ] 第 ( 1) 问把1x＋1y中的 “ 1” 代换为 “ 2 x ＋ y ” ，展开后利用基本不等式； 第 ( 2) 问把函数式中分子分母同除 “ x ” ，再利用基本不等式． [ 规范解答 ] ( 1) ∵ x 0 ， y 0 ，且 2 x ＋ y ＝ 1 ， ∴1x＋1y＝2 x ＋ yx＋2 x ＋ yy ＝ 3 ＋yx＋2 xy≥ 3 ＋ 2 2 . 当且仅当 yx＝2 xy2 x ＋ y ＝ 1，即 x ＝ 1 －22y ＝ 2 － 1时，取等号． ( 2) ∵ x 0 ， ∴ f ( x ) ＝2 xx2＋ 1＝2x ＋1x≤22＝ 1 ， 当且仅当 x ＝1x，即 x ＝ 1 时取等号． [ 答案 ] 3 ＋ 2 2 ( 2) 1 [ 方法总结 ] 利用基本不等式求函数最值时，注 意 “ 一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小 ” ． 常用的方法为：拆、凑、代换、平方． ( 1) 已知 x 1 ，则 f ( x ) ＝ x ＋1x － 1的最小值为 ________ ． ( 2) 已知 0 x 25，则 y ＝ 2 x － 5 x2的最大值为 ________ ． ( 3) 若 x ， y ∈ (0 ，＋ ∞ ) 且 2 x ＋ 8 y － xy ＝ 0。