北师大版高考数学一轮总复习53平面向量的数量积

北师大版高考数学一轮总复习53平面向量的数量积内容摘要：

＝ AO→＋ OB→，故 CA→ AB→＝ CA→( AO→＋ OB→) ＝ CA→ AO→＋ CA→ OB→. 而 AO→＝－12CA→， CA→⊥ OB→. 所以 CA→ AB→＝－12CA→2＝－ 8. 利用平面向量数量积求夹角与模 已知 |a |＝ 4 ， |b |＝ 3 ， (2 a － 3 b ) (2 a ＋ b ) ＝ 61. (1) 求 a 与 b 的夹角 θ ； (2) 求 |a ＋ b |和 |a － b |. [ 思路分析 ] 由平面向量数量积的运算法则得 a b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角． [ 规范解答 ] ( 1) ( 2 a － 3 b ) ( 2 a ＋ b ) ＝ 61 ， 解得 a b ＝－ 6. ∴ c os θ ＝a b|a || b |＝－ 64 3＝－12，又 0 ≤ θ ≤ π ， ∴ θ ＝2π3. ( 2) |a ＋ b |2＝ a2＋ 2 a b ＋ b2＝ 13 ， ∴ |a ＋ b |＝ 13 . |a － b |2＝ a2－ 2 a b ＋ b2＝ 37. ∴ |a － b |＝ 37 . [ 方法总结 ] 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对 |a |＝ a a 要引起足够重视，是求距离常用的公式． 已知 a 与 b 是两个非零向量，且 |a |＝ |b |＝ |a － b |， 求 a 与 a ＋ b 的夹角． [ 解析 ] 设 a 与 a ＋ b 的夹角为 θ ， 由 |a |＝ |b |得 |a |2＝ |b |2. 又由 |b |2＝ |a － b |2＝ |a |2－ 2 a b ＋ |b |2. ∴ a b ＝12|a |2， 而 |a ＋ b |2＝ |a |2＋ 2 a b ＋ | b |2＝ 3| a |2， ∴ |a ＋ b |＝ 3 |a |. ∴ c os θ ＝a  a ＋ b |a || a ＋ b |＝|a |2＋12|a |2|a | 3 |a |＝32. ∵ 0176。 ≤ θ ≤ 180176。 ， ∴ θ ＝ 30176。 ，即 a 与 a ＋ b 的夹角为 30176。 . 平面向量的数量积与垂直问题 已知 |a |＝ 4 ， |b |＝ 8 ， a 与 b 的夹角是 120176。 . (1) 计算 |a ＋ b |， |4 a － 2 b |； (2) 当 k 为何值时， ( a ＋ 2 b ) ⊥ ( k a － b )? [ 思路分析 ] (1) 利用公式 |a | ＝ a2和 |a ＋ b | ＝  a ＋ b 2求解； (2) 利用向量垂直的充要条件，通过坐标表示列方程求 k . [ 规范解答 ] 由已知， a b ＝ 4 8 －12＝－ 16. (1) ∵ |a ＋ b |2＝ a2＋ 2 a b ＋ b2＝ 16 ＋ 2 ( － 16) ＋ 64 ＝ 48 ， ∴ |a ＋ b |＝ 4 3 . ∵ |4 a － 2 b |2＝ 16 a2－ 16 a b ＋ 4 b2＝ 16 16 － 16 ( － 16) ＋4 64 ＝ 3 162， ∴ |4 a － 2 b |＝ 16 3 . (2) 若 ( a ＋ 2 b ) ⊥ ( k a － b ) ，则 ( a ＋ 2 b ) ( k a － b ) ＝ 0 ， ∴ k a2＋ (2 k － 1) a b － 2 b2＝ 0 ， 即 16 k － 16(2 k － 1) － 2 64 ＝ 0 ， ∴ k ＝－ 7. [ 方法总结 ] 1. 当 a 与 b 是坐标形式给出时，若证明 a ⊥ b ，则只需证明 a b ＝ 0 ⇔ x1x2＋ y1y2＝ 0. 2 ．当向量 a ， b 是非坐标形式时，要把 a ， b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明 a b ＝ 0. ( 文 ) ( 2020 山东文， 15) 在平面直角坐标系 x Oy 中，已知 OA→＝ ( － 1 ， t ) ， OB→＝ ( 2,2) ．若 ∠ ABO ＝ 90176。 ，则实数 t 的值为________ ． [ 答案 ] 5 [ 解析 ] 本题考查了向量的坐标运算及垂直的条件． 易知 AB→⊥ OB→，而 AB→＝ OB→－ OA→＝ ( 3,2 － t ) ， OB→＝ ( 2,2) ， ∴ AB→ OB→＝ 0 ，即 3 2 ＋ 2( 2 － t ) ＝ 0 ， ∴ t ＝ 5. ( 理 ) 已知平面内 A ， B ， C 三点共线， O 为原点， OA→＝ ( －2 ， m ) ， OB→＝ ( n, 1) ， OC→＝ (5 ，－ 1) ，且 OA→⊥ OB→，求实数 m ，n 的值．。